Compare commits
| Author | SHA1 | Date | |
|---|---|---|---|
 Christos Choutouridis
|
4aaf7cc457 | ||
 hoo2
|
be42c39adc | ||
|
hoo2
|
65363b3717 | ||
|
hoo2
|
ed9807b1ca | ||
|
hoo2
|
d5c8ed5e68 |
+1
-1
@@ -6,4 +6,4 @@
|
|||||||
|
|
||||||
# Matlab related
|
# Matlab related
|
||||||
*.m~
|
*.m~
|
||||||
|
*.asv
|
||||||
|
|||||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,325 @@
|
|||||||
|
%
|
||||||
|
% Optimization Techniques Work 3 report
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% authors:
|
||||||
|
% Χρήστος Χουτουρίδης ΑΕΜ 8997
|
||||||
|
% cchoutou@ece.auth.gr
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\documentclass[a4paper, 11pt]{AUTHReport}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Document configuration
|
||||||
|
\AuthorName{Χρήστος Χουτουρίδης}
|
||||||
|
\AuthorAEM{8997}
|
||||||
|
\AuthorMail{cchoutou@ece.auth.gr}
|
||||||
|
|
||||||
|
%\CoAuthorName{CoAuthor Name}
|
||||||
|
%\CoAuthorAEM{AEM}
|
||||||
|
%\CoAuthorMail{CoAuthor Mail}
|
||||||
|
|
||||||
|
% \WorkGroup{Ομάδα Χ}
|
||||||
|
|
||||||
|
\DocTitle{3η Εργαστηριακή Άσκηση}
|
||||||
|
\DocSubTitle{Μέθοδος Μέγιστης Καθόδου με Προβολή}
|
||||||
|
|
||||||
|
\Department{Τμήμα ΗΜΜΥ. Τομέας Ηλεκτρονικής}
|
||||||
|
\ClassName{Τεχνικές Βελτιστοποίησης}
|
||||||
|
|
||||||
|
\InstructorName{Γ. Ροβιθάκης}
|
||||||
|
\InstructorMail{rovithak@auth.gr}
|
||||||
|
|
||||||
|
\CoInstructorName{Θ. Αφορόζη}
|
||||||
|
\CoInstructorMail{taforozi@ece.auth.gr}
|
||||||
|
|
||||||
|
\CurrentDate{\today}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\usepackage{enumitem}
|
||||||
|
\usepackage{tabularx}
|
||||||
|
\usepackage{array}
|
||||||
|
\usepackage{amssymb}
|
||||||
|
\usepackage{amsfonts}
|
||||||
|
\usepackage{amsmath}
|
||||||
|
\usepackage{commath}
|
||||||
|
|
||||||
|
\usepackage{float}
|
||||||
|
\usepackage[labelformat=empty]{subcaption}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
\InsertTitle
|
||||||
|
|
||||||
|
%\tableofcontents
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Εισαγωγή}
|
||||||
|
Η παρούσα εργασία αφορά το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μιας δοσμένης συνάρτησης πολλών μεταβλητών $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ με περιορισμούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μέγιστης καθόδου με προβολή.
|
||||||
|
Η μέθοδος αυτή θα εκτελεστεί σε αντιπαραβολή με την αντίστοιχη μέθοδο χωρίς περιορισμούς από την προηγούμενη εργασία.
|
||||||
|
Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε των κώδικα της προηγούμενης εργασίας με κάποιες τροποποιήσεις, όπως θα δούμε και παρακάτω.
|
||||||
|
|
||||||
|
\subsection{Παραδοτέα}
|
||||||
|
Τα παραδοτέα της εργασίας αποτελούνται από:
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Την παρούσα αναφορά.
|
||||||
|
\item Τον κατάλογο \textbf{scripts/}, που περιέχει τον κώδικα της MATLAB.
|
||||||
|
\item Το \href{https://git.hoo2.net/hoo2/OptimizationTechniques/src/branch/master/Work%203}{σύνδεσμο} με το αποθετήριο που περιέχει όλο το project με τον κώδικα της MATLAB, της αναφοράς και τα παραδοτέα.
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
|
||||||
|
\subsection{Προγραμματιστική προσέγγιση}
|
||||||
|
Για τον προγραμματισμό και εκτέλεση των μεθόδων της παρούσας εργασίας έγινε χρήση της MATLAB.
|
||||||
|
Στον κατάλογο \textbf{scripts}, περιέχονται όλες οι μέθοδοι και οι τεχνικές υπολογισμού βημάτων με τη μορφή συναρτήσεων καθώς και scripts που τις καλούν.
|
||||||
|
Για κάθε ένα θέμα της εργασίας, υπάρχει το αντίστοιχο script που περιέχει τους υπολογισμούς, τις κλήσεις των μεθόδων και τη δημιουργία των διαγραμμάτων.
|
||||||
|
Για το πρώτο θέμα το αρχείο Script\_1\_SteepDesc.m για το δεύτερο το Script\_2\_SteepDesc\_Proj.m και ούτω καθεξής.
|
||||||
|
Η μέθοδος μέγιστης καθόδου (αρχείο: \textbf{method\_SteepDesc.m}) είναι η ίδια με αυτή της προηγούμενης εργασίας με τη μόνη διαφορά ότι τροποποιήθηκε ώστε η αντικειμενική συνάρτηση να δέχεται διάνυσμα ώς όρισμα και όχι δύο διαφορετικές μεταβλητές $x, y$.
|
||||||
|
Αυτό ακολουθήθηκε και για την έκδοση με προβολή και φυσικά είχε αντίκτυπο και στις υπόλοιπες συναρτήσεις, όπως η κλίση ή ο Εσσιανός.
|
||||||
|
Στην παρούσα εργασία η υλοποίηση του κώδικα ακολουθεί την προσέγγιση των προηγούμενων εργασιών.
|
||||||
|
Πιο συγκεκριμένα.
|
||||||
|
|
||||||
|
\subsection{Μέθοδοι επιλογής βήματος}
|
||||||
|
Εφόσον οι υπάρχουσες μέθοδοι επιλογής βήματος είναι ανεξάρτητες από την μέθοδο υπολογισμού του ελάχιστου και εφόσον χρησιμοποιούμε τον ίδιο κώδικά και στην παρούσα εργασία, αυτός ο τρόπος σχεδίασης παρέμεινε.
|
||||||
|
Ουσιαστικά για κάθε ένα τρόπο υπολογισμού του $\gamma_k$, υπάρχει αντίστοιχη συνάρτηση, με κοινό interface.
|
||||||
|
Αυτό έχει τη μορφή: \textit{\textbf{gamma\_<method>(f, grad\_f, dk, xk)}}, όπου το \textbf{f} είναι η αντικειμενική συνάρτηση, \textbf{grad\_f} η συνάρτηση κλίσης της, \textbf{dk} η τιμή της συνάρτησης κλίσης στο xk και \textbf{xk} το σημείο ενδιαφέροντος.
|
||||||
|
Έτσι οι μέθοδοι αντιγράφηκαν και εδώ για ολότητα, ακόμα και αν για την παρούσα εργασία χρησιμοποιείται μόνο το σταθερό βήμα $\gamma_k$.
|
||||||
|
|
||||||
|
%\subsection{Symbolic expression functions}
|
||||||
|
%Μία ακόμη προγραμματιστική τεχνική που ακολουθήθηκε είναι η χρήση \textbf{symbolic expression} για την αναπαράσταση της αντικειμενικής συνάρτησης.
|
||||||
|
%Η εξήγηση υπάρχει και στις προηγούμενες εργασίες αλλά την παραθέτουμε εδώ για ολότητα.
|
||||||
|
%Ο λόγος που επιλέχθηκε είναι η \textbf{δυνατότητα εξαγωγής ενός symbolic expression που αναπαριστά την κλίση $\nabla f$ και τον Εσσιανό $\nabla^2f$ μιας συνάρτησης} από την MATLAB, κάνοντας χρήση των εντολών \textit{gradient()} και \textit{hessian()}.
|
||||||
|
%Αν αντίθετα χρησιμοποιούσαμε απλές συναρτήσεις, πολυώνυμα ή lambdas για την αναπαράσταση των αντικειμενικών συναρτήσεων, τότε για τον υπολογισμό της κλίσης και του Εσσιανού θα έπρεπε:
|
||||||
|
%\begin{itemize}
|
||||||
|
% \item Είτε να υπολογίζαμε αριθμητικά τις παραγώγους gradient και hessian μέσα στις μεθόδους, κάτι που θα εισήγαγε \textit{\textbf{αχρείαστο αριθμητικό σφάλμα}}.
|
||||||
|
% \item Είτε να κάναμε χρήση δύο επιπλέων συναρτήσεων (ή πολυωνύμων) για την αναπαράσταση τους, κάτι που ουσιαστικά θα δημιουργούσε \textit{\textbf{πλεονασμό πληροφορίας εισόδου}} και άρα μεγαλύτερη πιθανότητα να κάνουμε λάθος.
|
||||||
|
%\end{itemize}
|
||||||
|
%Η αναπαράσταση όμως με χρήση symbolic expression είναι πιο “βαριά” όταν χρειάζεται να υπολογίσουμε την τιμή μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο (subs(expr, number)).
|
||||||
|
%Αυτό είναι κάτι που χρειάζεται εκτενώς στον κώδικά μας.
|
||||||
|
%Για το λόγο αυτό, ενώ η συνάρτηση δίνεται ως symbolic expression, μέσω αυτής υπολογίζονται αυτόματα η κλίση, ο Εσσιανός αλλά και οι “κανονικές” συναρτήσεις MATLAB που τις υλοποιούν.
|
||||||
|
%Έτσι έχουμε την ακριβή αναπαράσταση της κλίσης και του Εσσιανού ως συναρτήσεις χωρίς να πληρώνουμε το κόστος της subs().
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Απεικόνιση της συνάρτησης}
|
||||||
|
Η συνάρτηση με την οποία ασχολούμαστε στην παρούσα εργασία είναι η:
|
||||||
|
\boldmath
|
||||||
|
\begin{equation}
|
||||||
|
f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{3}{x_1}^2 + 3{x_2}^2, \quad x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^T
|
||||||
|
\end{equation}
|
||||||
|
\label{eq:ObjectiveFunction}
|
||||||
|
Με \textbf{σύνολο περιορισμών} $X$:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\forall x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^T \in X \subset \mathbb{R}^2: \quad -10 \leq x_1 \leq 5, \quad -8 \leq x_2 \leq 12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\unboldmath
|
||||||
|
Στο σχήμα \ref{fig:plot3dFunction} φαίνεται η τρισδιάστατη απεικόνιση της συνάρτησης.
|
||||||
|
\InsertFigure{!h}{0.8}{fig:plot3dFunction}{../scripts/figures/Plot_Function.png}{Γραφική παράσταση της f}
|
||||||
|
|
||||||
|
Από το σχήμα μπορούμε πολύ εύκολα να διακρίνουμε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο σύνολο των περιορισμών της εκφώνησης $ -10 \leq x_1 \leq 5 $ και $ -8 \leq x_2 \leq 12 $.
|
||||||
|
Για να πάρουμε μια καλύτερη αίσθηση για τις κλίσεις της $f$, παρακάτω παραθέτουμε ένα γράφημα με τις ισοβαρείς καμπύλες της $f$.
|
||||||
|
\InsertFigure{H}{0.8}{fig:plotContour}{../scripts/figures/Plot_Contour.png}{Ισοβαρείς της f}
|
||||||
|
|
||||||
|
Από το παραπάνω σχήμα \ref{fig:plotContour} φαίνονται και γραφικά οι μικρές κλίσης που παρουσιάζει η συνάρτηση κοντά στο ελάχιστο σημείο $(0,0)$.
|
||||||
|
Τα διαγράμματα για τη μέθοδο δημιουργούνται εκτελώντας το αρχείο \textbf{Script\_0\_Plots.m}
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Θέμα 1 - Μέθοδος Μέγιστης Καθόδου χωρίς περιορισμούς}
|
||||||
|
Εφαρμόζοντας την μέθοδο μέγιστης καθόδου από την προηγούμενη εργασία, με ακρίβεια $\epsilon = 0.001$, για τα βήματα $\gamma_k$ της εκφώνησης, παρατηρούμε ότι η μέθοδος συγκλίνει στο ελάχιστο για μικρά $\gamma_k$ ενώ \textbf{αποκλίνει για μεγάλα} \boldmath$\gamma_k > 0.33$\unboldmath.
|
||||||
|
Από τις δοκιμές φαίνεται ότι το σημείο εκκίνησης δεν παίζει ρόλο και για αυτό επιλέξαμε να παραθέσουμε τα ευρήματά μας από το σημείο $(5,-5)$, για αντιπαραβολή με το επόμενο βήμα της εκφώνησης.
|
||||||
|
\InsertFigure{H}{0.8}{fig:StDes_Iter_o_gamma_2}{../scripts/figures/StDes_Iter_o_gamma_1.png}{Αριθμός επαναλήψεων για διαφορετικές τιμές $\gamma_k$ [Μέγιστη Κάθοδος].}
|
||||||
|
Επίσης παρατηρούμε ότι για μικρό \boldmath$\gamma_k = 0.1$ η σύγκλιση είναι ομαλή, ενώ για μεγάλο $\gamma_k = 0.3$ \unboldmath παρουσιάζει ταλάντωση κατά την σύγκλιση.
|
||||||
|
Παρακάτω στο σχήμα \ref{fig:StDes_gamma} παραθέτουμε την πορεία σύγκλισης και απόκλισης για τις διαφορετικές τιμές του $\gamma_k$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{figure}[ht]
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
% First row
|
||||||
|
\begin{subfigure}{0.45\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/StDes_gamma_0.1.png}
|
||||||
|
\caption{$\gamma_k = 0.1$}
|
||||||
|
\label{fig:StDes_gamma_0.1}
|
||||||
|
\end{subfigure}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{subfigure}{0.45\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/StDes_gamma_0.3.png}
|
||||||
|
\caption{$\gamma_k = 0.3$}
|
||||||
|
\label{fig:StDes_gamma_0.3}
|
||||||
|
\end{subfigure}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Second row
|
||||||
|
\vspace{1em}
|
||||||
|
\begin{subfigure}{0.45\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/StDes_gamma_3.png}
|
||||||
|
\caption{$\gamma_k = 3$}
|
||||||
|
\label{fig:StDes_gamma_3}
|
||||||
|
\end{subfigure}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{subfigure}{0.45\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/figures/StDes_gamma_5.png}
|
||||||
|
\caption{$\gamma_k = 5$}
|
||||||
|
\label{fig:StDes_gamma_5}
|
||||||
|
\end{subfigure}
|
||||||
|
|
||||||
|
\caption{Σύγκριση της μεθόδου Steepest descent για διαφορετικά $\gamma_k$}
|
||||||
|
\label{fig:StDes_gamma}
|
||||||
|
\end{figure}
|
||||||
|
|
||||||
|
\subsection{Μαθηματική ανάλυση}
|
||||||
|
Τα παραπάνω αποτελέσματα επιβεβαιώνονται και θεωρητικά.
|
||||||
|
Πιο συγκεκριμένα για τη σύγκλιση της μεθόδου μέγιστης καθόδου όπου το κάθε σημείο υπολογίζεται από την σχέση:
|
||||||
|
\boldmath \[
|
||||||
|
x_{k+1} = x_k - \gamma_k \nabla f(x_k)
|
||||||
|
\]\unboldmath
|
||||||
|
Πρέπει να ισχύουν:
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item H $f$ να είναι κυρτή.
|
||||||
|
\item Η $f$ να είναι συνεχής και διαφορίσιμη και η κλίση της υπολογίσιμη.
|
||||||
|
\item Για το βήμα υπολογισμού να ισχύει η σχέση:
|
||||||
|
\boldmath
|
||||||
|
\begin{equation} 0 < \gamma_k < \frac{2}{L} \label{eq:gammaLimmit} \end{equation}
|
||||||
|
Όπου $L$ το άνω φράγμα της Lipschitz για την κλίση $\nabla f(x)$ (αν είναι γνωστή), η οποία είναι η μέγιστη ιδιοτιμή του Εσσιανού και δίνεται από τη σχέση:
|
||||||
|
\begin{equation}
|
||||||
|
L = \max_{x} \{\lambda_{max} (H(x))\}
|
||||||
|
\label{eq:Lipschitz}
|
||||||
|
\end{equation}
|
||||||
|
\unboldmath
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\par
|
||||||
|
Έτσι για τη δική μας περίπτωση, όπου η $f$ είναι κυρτή και διαφορίσιμη, η κλίση της $f(x)$ είναι:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\nabla f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x1} \\ \frac{\partial f}{\partial x2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3}x_1 \\ 6x_2 \end{bmatrix}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Ο Εσσιανός πίνακας $H(x)$ της $f(x)$ είναι:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
H(x) =
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} \\
|
||||||
|
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
=
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 6
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Και εφόσον είναι διαγώνιος οι ιδιοτιμές του είναι οι τιμές της διαγωνίου. Δηλαδή:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\det(H - \lambda I) = 0 \Leftrightarrow
|
||||||
|
\det(\begin{bmatrix}\frac{2}{3} - \lambda & 0 \\ 0 & 6 - \lambda \end{bmatrix}) = 0 \Leftrightarrow
|
||||||
|
\left(\frac{2}{3} - \lambda\right)(6 - \lambda) = 0 \Leftrightarrow
|
||||||
|
\lambda_{\min} = \frac{2}{3}, \quad \lambda_{\max} = 6.
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Έτσι από τις εξισώσεις (\ref{eq:gammaLimmit}) και (\ref{eq:Lipschitz}) προκύπτει τελικά ότι $\frac{2}{L} = \frac{2}{\lambda_{max}} = \frac{1}{3}$ και επομένως για σύγκλιση της μεθόδου πρέπει να ισχύει:
|
||||||
|
\boldmath
|
||||||
|
\begin{equation}
|
||||||
|
0 < \gamma_k < \frac{1}{3}
|
||||||
|
\label{eq:gammaConvergence}
|
||||||
|
\end{equation}
|
||||||
|
\unboldmath
|
||||||
|
Βλέπουμε ότι από την ανάλυσή μας, η τιμή που βρήκαμε εμπειρικά για την απόκλιση, από την εκτέλεση του αλγορίθμου για το $\gamma > 0.33$ επιβεβαιώνεται.
|
||||||
|
\par
|
||||||
|
Επίσης το γεγονός ότι ο Εσσιανός είναι διαγώνιος, μας δίνει επίσης πληροφορία ότι:
|
||||||
|
\boldmath
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Η ιδιοτιμή $\lambda_1 = \frac{2}{3}$ εφαρμοσμένη στη σχέση (\ref{eq:gammaLimmit}) μας δίνει:
|
||||||
|
\begin{equation} 0<\gamma_{k,x_1}<3 \label{eq:gammaLimmit_x1} \end{equation}
|
||||||
|
που είναι η τιμή για την οποία η μέθοδος συγκλίνει στη διάσταση $x_1$
|
||||||
|
\item Η ιδιοτιμή $\lambda_2 = 6$ εφαρμοσμένη στη σχέση (\ref{eq:gammaLimmit}) μας δίνει:
|
||||||
|
\begin{equation} 0<\gamma_{k,x_2}<\frac{1}{3}\label{eq:gammaLimmit_x2} \end{equation}
|
||||||
|
που είναι η τιμή για την οποία η μέθοδος συγκλίνει στη διάσταση $x_2$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\unboldmath
|
||||||
|
|
||||||
|
\par
|
||||||
|
\underline{Εναλλακτικά} \\[0.5ex]
|
||||||
|
Αν θέλαμε να βρούμε το κριτήριο σύγκλισης για το βήμα $\gamma_k$ ξεχωριστά για την κάθε διάσταση θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ισοδύναμα με την παραπάνω ανάλυση, πως για να συγκλίνει η μέθοδος θα πρέπει να ισχύει:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\abs{\frac{x_{k+1}}{x_k}} < 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει πάλι ένα σύστημα εξισώσεων για την κάθε διάσταση:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\left\{
|
||||||
|
\begin{aligned}
|
||||||
|
\abs{\dfrac{x_{1,k} - \frac{2}{3}\gamma_k x_{1,k}}{x_{1,k}}} < 1 \\
|
||||||
|
\abs{\dfrac{x_{2,k} - 6\gamma_k x_{2,k}}{x_{2,k}}} < 1
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\right.
|
||||||
|
\Leftrightarrow
|
||||||
|
\left\{
|
||||||
|
\begin{aligned}
|
||||||
|
\abs{1 - \frac{2}{3}\gamma_k} < 1 \\
|
||||||
|
\abs{1 - 6\gamma_k} < 1
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\right.
|
||||||
|
\Leftrightarrow
|
||||||
|
\left\{
|
||||||
|
\begin{aligned}
|
||||||
|
0 < \gamma_k < 3 \\
|
||||||
|
0 < \gamma_k < \frac{1}{3}
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\right.
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Που επιβεβαιώνει την προηγούμενη ανάλυσή μας για τη συνολική σύγκλιση, αλλά και για την κάθε διάσταση ξεχωριστά.
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Μέθοδος Μέγιστης Καθόδου με προβολή}
|
||||||
|
Πριν περάσουμε στις υπόλοιπες απαιτήσεις της εργασίας θα θέλαμε να παραθέσουμε κάποιες πληροφορίες για την υλοποίηση της μεθόδου μέγιστης καθόδου με προβολή (αρχείο: \textbf{method\_SteepDesc\_Proj.m}).
|
||||||
|
Η συνάρτηση αυτή δέχεται ως είσοδο την αντικειμενική συνάρτηση και την συνάρτηση κλίσης καθώς και το σημείο εκκίνησης $x_k$ και το βήμα $s_k$.
|
||||||
|
Με τη βοήθεια της συνάρτησης \textit{ProjectionPoint()} \textbf{παίρνει πρώτα την προβολή} του $x_k$ στο διάστημα των περιορισμών, αν αυτό χρειάζεται, \textbf{και έπειτα εφαρμόζει τον αλγόριθμο}.
|
||||||
|
Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για σημεία εκκίνησης εκτός του συνόλου των περιορισμών.
|
||||||
|
Ο αλγόριθμος είναι παρόμοιος με αυτόν της προηγούμενης εργασίας με τη διαφορά ότι η διεύθυνση $d_k$ επιλέγεται από τη σχέση:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
d_k = Pr_X\{ x_k - s_k \nabla f(x_k)\} - x_k = \bar{x_k} - x_k
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
και τελικά έχουμε:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_{k+1} = x_k + \gamma_k d_k
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Δηλαδή εφαρμόζουμε πρώτα τη μέθοδο μέγιστης καθόδου με βήμα $s_k$ στην κατεύθυνση $-\nabla f$ και έπειτα προβάλουμε το σημείο στο σύνολο $X$ και χρησιμοποιούμε αυτό ως διεύθυνση με βήμα $\gamma_k$.
|
||||||
|
\par
|
||||||
|
Αξίζει να παρατηρήσουμε πως \textbf{αν το σημείο $x_k$ είναι εντός του συνόλου περιορισμών} τότε $\bar{x_k} = x_k$, δηλαδή η προβολή του σημείου στο σύνολο, είναι το ίδιο το σημείο.
|
||||||
|
Έτσι:
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\begin{aligned}
|
||||||
|
x_{k+1} & = x_k + \gamma_k \left( Pr_X\{ x_k - s_k \nabla f(x_k)\} - x_k \right) \\
|
||||||
|
& = x_k + \gamma_k \left( ( x_k - s_k \nabla f(x_k) ) - x_k \right) \\
|
||||||
|
& = x_k - \gamma_k s_k \nabla f(x_k) \\
|
||||||
|
& = x_k - \gamma_k' \nabla f(x_k)
|
||||||
|
\end{aligned}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Βλέπουμε λοιπόν ότι για σημεία εσωτερικά του Χ, έχουμε ουσιαστικά τη μέθοδο της μέγιστης καθόδου με βήμα $\gamma_k' = \gamma_k s_k$.
|
||||||
|
Εφόσον όμως για μη εφικτά σημεία, πριν εφαρμόσουμε τη μέθοδο, τα προβάλουμε στο σύνολο των περιορισμών Χ, βλέπουμε πως η \textbf{μέθοδος τελικά προσεγγίζει τη μέγιστη κάθοδο με βήμα $\gamma_k'$, που είναι και το βήμα για το οποίο ελέγχουμε αν ισχύουν τα κριτήρια σύγκλισης}.
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Θέμα 2 - Σημείο (5, -5), $s_k = 5, \gamma_k = 0.5$}
|
||||||
|
Εφαρμόζοντας τη μέθοδο για ακρίβεια $\epsilon = 0.01$, $s_k = 5$ και $\gamma_k = 0.5$ έχουμε $\gamma_k' = 2.5 > \frac{1}{3}$, άρα το κριτήριο σύγκλισης δεν πληρείται.
|
||||||
|
\InsertFigure{H}{0.8}{fig:StDesProj_sk_5_gamma_0.5}{../scripts/figures/StDesProj_sk_5_gamma_0.5.png}{Μέθοδος μέγιστης καθόδου με προβολή για $s_k = 5, \gamma_k = 0.5$.}
|
||||||
|
|
||||||
|
Παρατηρούμε πως ενώ η μέθοδος ταλαντώνει και δεν συγκλίνει στο ελάχιστο \textbf{όπως και η αντίστοιχη εκτέλεση της μέγιστης καθόδου χωρίς περιορισμούς με το ίδιο} \boldmath$\gamma_k$\unboldmath.
|
||||||
|
Παρόλα αυτά όμως, η ταλάντωση λαμβάνει χώρα \textbf{εντός του συνόλου των περιορισμών} της εκφώνησης.
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Θέμα 3 - Σημείο (-5, 10), $s_k = 15, \gamma_k = 0.1$}
|
||||||
|
Εφαρμόζοντας τη μέθοδο για ακρίβεια $\epsilon = 0.01$, $s_k = 15$ και $\gamma_k = 0.1$ έχουμε $\gamma_k' = 1.5 > \frac{1}{3}$, άρα το κριτήριο σύγκλισης δεν πληρείται και πάλι.
|
||||||
|
\InsertFigure{H}{0.8}{fig:StDesProj_sk_15_gamma_0.1}{../scripts/figures/StDesProj_sk_15_gamma_0.1.png}{Μέθοδος μέγιστης καθόδου με προβολή για $s_k = 15, \gamma_k = 0.1$.}
|
||||||
|
|
||||||
|
Και εδώ παρατηρούμε πως ενώ το $\gamma_k$ έχει επιλεγεί θεωρητικά στο εύρος που οδηγεί σε σύγκλιση, το αντίστοιχο βήμα $s_k$ είναι πολύ μεγάλο, με αποτέλεσμα το γινόμενό τους $\gamma_k' = 15 * 0.1 = 1.5$ συνολικά να μην πληροί το κριτήριο $\gamma_k' < \frac{1}{3}$ και η μέθοδος να ταλαντώνει και πάλι.
|
||||||
|
Αυτή τη φορά μόνο στον άξονα $x_2$.
|
||||||
|
Αυτό βέβαια εξηγείται από την παραπάνω ανάλυσή καθώς βλέπουμε πως ενώ το γινόμενο 1.5 δεν πληροί τις προϋποθέσεις για σύγκλιση, πληροί όμως τις προϋποθέσεις της εξίσωσης (\ref{eq:gammaLimmit_x1}) με αποτέλεσμα να ταλαντώνει μόνο στον άξονα $x_2$.
|
||||||
|
\par
|
||||||
|
Αυτό φυσικά είναι αληθές και για την προηγούμενη περίπτωση όπου το $\gamma_k' = 5 * 0.5 = 2.5$ και όπου πάλι η σύγκλιση ήταν μερική, μόνο για την διάσταση $x_1$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Θέμα 4 - Σημείο (8, -10), $s_k = 0.1, \gamma_k = 0.2$}
|
||||||
|
Αρχικά παρατηρούμε πως το σημείο \textbf{δεν είναι εφικτό}, καθώς είναι εκτός του συνόλου των περιορισμών της εκφώνησης.
|
||||||
|
Αυτό βέβαια δεν μας αποτρέπει από την εφαρμογή της μεθόδου, καθώς αρχικά μπορούμε να προβάλουμε το σημείο στο σύνολο και να εφαρμόσουμε τη μέθοδο έπειτα.
|
||||||
|
H προβολή του (8, -10) είναι $Pr_X\{(8, -10)\} = (5, -8)$, που είναι και το σημείο εκκίνησης του αλγορίθμου όπως φαίνεται και στο σχήμα \ref{fig:StDesProj_sk_0.1_gamma_0.2} παρακάτω.
|
||||||
|
\par
|
||||||
|
Ακόμα, αυτή τη φορά οι τιμές των βημάτων $s_k, \gamma_k$, έχουν επιλεγεί μέσα στο εύρος για το οποίο έχουμε σύγκλιση, καθώς: $\gamma_k' = 0.1 * 0.2 = 0.02 < \frac{1}{3}$, επομένως αναμένουμε η μέθοδος να συγκλίνει στο ελάχιστο.
|
||||||
|
Εφαρμόζοντας τη μέθοδο για ακρίβεια $\epsilon = 0.01$ έχουμε:
|
||||||
|
\InsertFigure{H}{0.8}{fig:StDesProj_sk_0.1_gamma_0.2}{../scripts/figures/StDesProj_sk_0.1_gamma_0.2.png}{Μέθοδος μέγιστης καθόδου με προβολή για $s_k = 0.1, \gamma_k = 0.2$.}
|
||||||
|
Όπου βλέπουμε πως η μέθοδος συγκλίνει επιβεβαιώνοντας την παραπάνω ανάλυση.
|
||||||
|
|
||||||
|
\section{Συμπεράσματα}
|
||||||
|
|
||||||
|
Η μέθοδος μέγιστης καθόδου, με και χωρίς προβολή, παρουσιάζει τις αναμενόμενες συμπεριφορές σύγκλισης ανάλογα με την επιλογή του βήματος $\gamma_k$.
|
||||||
|
Για την περίπτωση χωρίς προβολή, επιβεβαιώθηκε θεωρητικά και εμπειρικά ότι η μέθοδος συγκλίνει μόνο όταν το $\gamma_k$ βρίσκεται εντός του εύρους που ορίζεται από την ανάλυση της Lipschitz σταθεράς, δηλαδή $0 < \gamma_k < \frac{1}{3}$.
|
||||||
|
Επιπλέον, παρατηρήθηκε πως για μεγαλύτερες τιμές$\gamma_k$ η μέθοδος αποκλίνει, όπως προβλέπεται από την μαθηματική ανάλυση.
|
||||||
|
|
||||||
|
Αντίστοιχα, για τη μέθοδο με προβολή, αποδεικνύεται πως το κριτήριο σύγκλισης εξαρτάται από τον συνδυασμό του $s_k$ (βήμα αντίθετο στην κατεύθυνση της κλίσης) και του $\gamma_k$ (βήμα κατά την προβολή).
|
||||||
|
Η ανάλυση επιβεβαίωσε ότι η μέθοδος προσεγγίζει τη μέθοδο χωρίς προβολή για εφικτά σημεία, ενώ για μη εφικτά σημεία εξασφαλίζει ότι οι διαδοχικές προσεγγίσεις παραμένουν εντός των περιορισμών.
|
||||||
|
|
||||||
|
Τέλος, μέσα από τα παραδείγματα, αναδείχθηκε η σημασία της σωστής επιλογής των παραμέτρων $\gamma_k$ και $s_k$ για τη συνολική σταθερότητα και σύγκλιση της μεθόδου, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο η ανάλυση των ιδιοτιμών του Εσσιανού επιτρέπει την καλύτερη κατανόηση της συμπεριφοράς της μεθόδου.
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
@@ -0,0 +1,19 @@
|
|||||||
|
function [flag] = BelongsTo(x, SetLimmits)
|
||||||
|
%Checks if the x vector belongs to Set
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% x: A vector to project
|
||||||
|
% SetLimmits: The set to project. Each line/dimension off the set has to contain the limits
|
||||||
|
% of the set to that particular dimension
|
||||||
|
% flag: True if belongs
|
||||||
|
%
|
||||||
|
flag = true; % Have faith
|
||||||
|
|
||||||
|
for i = 1:size(SetLimmits, 2)
|
||||||
|
if x(i) < SetLimmits(i,1)
|
||||||
|
flag = false;
|
||||||
|
elseif x(i) > SetLimmits(i,2)
|
||||||
|
flag = false;
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
@@ -0,0 +1,36 @@
|
|||||||
|
% Given environment
|
||||||
|
|
||||||
|
clear;
|
||||||
|
% Setup the function under test
|
||||||
|
syms x [2 1] real;
|
||||||
|
fexpr = (1/3)*x(1)^2 +3*x(2)^2;
|
||||||
|
title_fun = "$f(x) = \frac{1}{3}{x_1}^2 + 3{x_2}^2$";
|
||||||
|
|
||||||
|
XSetLimmits = [-10, 5 ; -8, 12];
|
||||||
|
|
||||||
|
% Calculate the gradient and Hessian
|
||||||
|
grad_fexpr = gradient(fexpr, x); % Gradient of f
|
||||||
|
hessian_fexpr = hessian(fexpr, x); % Hessian of f
|
||||||
|
|
||||||
|
% Convert symbolic expressions to MATLAB functions
|
||||||
|
fun = matlabFunction(fexpr, 'Vars', {x}); % Function
|
||||||
|
grad_fun = matlabFunction(grad_fexpr, 'Vars', {x}); % Gradient
|
||||||
|
hessian_fun = matlabFunction(hessian_fexpr, 'Vars', {x}); % Hessian
|
||||||
|
|
||||||
|
% Minimum reference
|
||||||
|
[Xmin, Fmin] = fminsearch(fun, [-1, -1]');
|
||||||
|
Xmin = round(Xmin, 3);
|
||||||
|
Fmin = round(Fmin, 3);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Amijo globals
|
||||||
|
global amijo_beta; % Step reduction factor in [0.1, 0.5] (typical range: [0.1, 0.8])
|
||||||
|
global amijo_sigma; % Sufficient decrease constant in [1e-5, 0.1] (typical range: [0.01, 0.3])
|
||||||
|
|
||||||
|
%fixed step size globals
|
||||||
|
global gamma_fixed_step
|
||||||
|
|
||||||
|
global image_width,
|
||||||
|
global image_height;
|
||||||
|
|
||||||
|
image_width = 960;
|
||||||
|
image_height = 640;
|
||||||
@@ -0,0 +1,18 @@
|
|||||||
|
function [x_p] = ProjectionPoint(x, SetLimmits)
|
||||||
|
%Project the x vector to Set, returns a point of Set close(st) to x
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% x: A vector to project
|
||||||
|
% SetLimmits: The set to project. Each line/dimension off the set has to contain the limits
|
||||||
|
% of the set to that particular dimension
|
||||||
|
%x_p: The projected point
|
||||||
|
%
|
||||||
|
x_p = x;
|
||||||
|
for i = 1:size(SetLimmits, 2)
|
||||||
|
if x(i) < SetLimmits(i,1)
|
||||||
|
x_p(i) = SetLimmits(i,1);
|
||||||
|
elseif x(i) > SetLimmits(i,2)
|
||||||
|
x_p(i) = SetLimmits(i,2);
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
@@ -0,0 +1,14 @@
|
|||||||
|
% Define environment (functions, gradients etc...)
|
||||||
|
GivenEnv
|
||||||
|
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% We plot the function in the domain of x,y in [-3, 3].
|
||||||
|
% We also plot the contour in order to get a sense of the min and maximum
|
||||||
|
% points in the x-y plane
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
% 3d plot the function
|
||||||
|
plot3dFun(fun, XSetLimmits(1, :), XSetLimmits(2, :), 100, title_fun, "figures/Plot_Function.png");
|
||||||
|
|
||||||
|
% Plot isobaric lines
|
||||||
|
plotContour(fun, XSetLimmits(1, :), XSetLimmits(2, :), 100, title_fun, "figures/Plot_Contour.png");
|
||||||
@@ -0,0 +1,40 @@
|
|||||||
|
% Define environment (functions, gradients etc...)
|
||||||
|
GivenEnv
|
||||||
|
|
||||||
|
% Define parameters
|
||||||
|
max_iter = 1000; % Maximum iterations
|
||||||
|
tol = 0.001; % Tolerance
|
||||||
|
|
||||||
|
% Point x0 = (1, 1)
|
||||||
|
% =========================================================================
|
||||||
|
point = 1;
|
||||||
|
x0 = [5, -5]';
|
||||||
|
point_str = "[" + x0(1) + ", " + x0(2) + "]";
|
||||||
|
f = fun(x0);
|
||||||
|
gf = grad_fun(x0);
|
||||||
|
hf = hessian_fun(x0);
|
||||||
|
fprintf('Initial point (%d, %d), f = %f, grad = [%f;%f], hessian = [%f %f ; %f %f]=> Method applicable\n', x0, f, gf, hf);
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
k = zeros(100, 1);
|
||||||
|
j = 1;
|
||||||
|
n = linspace(0.1, 1.5, 100);
|
||||||
|
for g = n
|
||||||
|
gamma_fixed_step = g;
|
||||||
|
[~, ~, k(j)] = method_SteepDesc(fun, grad_fun, x0, tol, max_iter, 'fixed');
|
||||||
|
j = j + 1;
|
||||||
|
end
|
||||||
|
plotItersOverGamma(n, k, "Iteration for different $\gamma$ values", "figures/StDes_Iter_o_gamma_" + point + ".png");
|
||||||
|
|
||||||
|
for g=[0.1, 0.3, 3, 5]
|
||||||
|
gamma_fixed_step = g;
|
||||||
|
|
||||||
|
[x_fixed, f_fixed, kk] = method_SteepDesc(fun, grad_fun, x0, tol, max_iter, 'fixed');
|
||||||
|
fprintf('Fixed step g=%f: Initial point (%f, %f), steps:%d, Final (x1,x2)=(%f, %f), f(x1,x2)=%f\n', g, x0, kk, x_fixed(:, end), f_fixed(end));
|
||||||
|
if g <= 1
|
||||||
|
plotPointsOverContour(x_fixed, fun, XSetLimmits(1, :), XSetLimmits(2, :), 100, point_str + ": Steepest descent $\gamma$ = " + gamma_fixed_step, "figures/StDes_gamma_" + g + ".png");
|
||||||
|
else
|
||||||
|
plotPointsOverContour(x_fixed, fun, [-500, 500], [-500, 500], 100, point_str + ": Steepest descent $\gamma$ = " + gamma_fixed_step, "figures/StDes_gamma_" + g + ".png");
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
@@ -0,0 +1,32 @@
|
|||||||
|
% Define environment (functions, gradients etc...)
|
||||||
|
GivenEnv
|
||||||
|
|
||||||
|
% Settings
|
||||||
|
max_iter = 1000; % Maximum iterations
|
||||||
|
|
||||||
|
% Define parameters
|
||||||
|
% =========================================================================
|
||||||
|
x0 = [5, -5]';
|
||||||
|
gamma = 0.5;
|
||||||
|
sk_step = 5;
|
||||||
|
tol = 0.01; % Tolerance
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
point_str = "[" + x0(1) + ", " + x0(2) + "]";
|
||||||
|
f = fun(x0);
|
||||||
|
gf = grad_fun(x0);
|
||||||
|
hf = hessian_fun(x0);
|
||||||
|
fprintf('Initial point (%d, %d), f = %f, grad = [%f;%f], hessian = [%f %f ; %f %f]=> Method applicable\n', x0, f, gf, hf);
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
gamma_fixed_step = gamma;
|
||||||
|
[x_fixed, f_fixed, kk] = method_SteepDesc_Proj(fun, grad_fun, x0, sk_step, XSetLimmits, tol, max_iter, 'fixed');
|
||||||
|
fprintf('Fixed step g=%f: Initial point (%f, %f), steps:%d, Final (x1,x2)=(%f, %f), f(x1,x2)=%f\n', gamma_fixed_step, x0, kk, x_fixed(:, end), f_fixed(end));
|
||||||
|
plotPointsOverContour(x_fixed, fun, XSetLimmits(1, :), XSetLimmits(2, :), 100, point_str + ": Steepest descent proj $s_k$ = " + sk_step + ", $\gamma$ = " + gamma_fixed_step, "figures/StDesProj_sk_" + sk_step + "_gamma_" + gamma + ".png");
|
||||||
|
|
||||||
|
%[x_minimized, f_minimized, kk] = method_SteepDesc_Proj(fun, grad_fun, x0, sk_step, XSetLimmits, tol, max_iter, 'minimized');
|
||||||
|
%fprintf('Minimized f: Initial point (%f, %f), steps:%d, Final (x1,x2)=(%f, %f), f(x1,x2)=%f\n', x0, kk, x_fixed(:, end), f_fixed(end));
|
||||||
|
%plotPointsOverContour(x_fixed, fun, XSetLimmits(1, :), XSetLimmits(2, :), 100, point_str + ": Steepest descent minimized", "");
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
@@ -0,0 +1,27 @@
|
|||||||
|
% Define environment (functions, gradients etc...)
|
||||||
|
GivenEnv
|
||||||
|
|
||||||
|
% Settings
|
||||||
|
max_iter = 1000; % Maximum iterations
|
||||||
|
|
||||||
|
% Define parameters
|
||||||
|
% =========================================================================
|
||||||
|
x0 = [-5, 10]';
|
||||||
|
gamma = 0.1;
|
||||||
|
sk_step = 15;
|
||||||
|
tol = 0.01; % Tolerance
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
point_str = "[" + x0(1) + ", " + x0(2) + "]";
|
||||||
|
f = fun(x0);
|
||||||
|
gf = grad_fun(x0);
|
||||||
|
hf = hessian_fun(x0);
|
||||||
|
fprintf('Initial point (%d, %d), f = %f, grad = [%f;%f], hessian = [%f %f ; %f %f]=> Method applicable\n', x0, f, gf, hf);
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
gamma_fixed_step = gamma;
|
||||||
|
[x_fixed, f_fixed, kk] = method_SteepDesc_Proj(fun, grad_fun, x0, sk_step, XSetLimmits, tol, max_iter, 'fixed');
|
||||||
|
fprintf('Fixed step g=%f: Initial point (%f, %f), steps:%d, Final (x1,x2)=(%f, %f), f(x1,x2)=%f\n', gamma_fixed_step, x0, kk, x_fixed(:, end), f_fixed(end));
|
||||||
|
plotPointsOverContour(x_fixed, fun, XSetLimmits(1, :), XSetLimmits(2, :), 100, point_str + ": Steepest descent proj $s_k$ = " + sk_step + ", $\gamma$ = " + gamma_fixed_step, "figures/StDesProj_sk_" + sk_step + "_gamma_" + gamma + ".png");
|
||||||
|
|
||||||
@@ -0,0 +1,27 @@
|
|||||||
|
% Define environment (functions, gradients etc...)
|
||||||
|
GivenEnv
|
||||||
|
|
||||||
|
% Settings
|
||||||
|
max_iter = 1000; % Maximum iterations
|
||||||
|
|
||||||
|
% Define parameters
|
||||||
|
% =========================================================================
|
||||||
|
x0 = [8, -10]';
|
||||||
|
gamma = 0.2;
|
||||||
|
sk_step = 0.1;
|
||||||
|
tol = 0.01; % Tolerance
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
point_str = "[" + x0(1) + ", " + x0(2) + "]";
|
||||||
|
f = fun(x0);
|
||||||
|
gf = grad_fun(x0);
|
||||||
|
hf = hessian_fun(x0);
|
||||||
|
fprintf('Initial point (%d, %d), f = %f, grad = [%f;%f], hessian = [%f %f ; %f %f]=> Method applicable\n', x0, f, gf, hf);
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
gamma_fixed_step = gamma;
|
||||||
|
[x_fixed, f_fixed, kk] = method_SteepDesc_Proj(fun, grad_fun, x0, sk_step, XSetLimmits, tol, max_iter, 'fixed');
|
||||||
|
fprintf('Fixed step g=%f: Initial point (%f, %f), steps:%d, Final (x1,x2)=(%f, %f), f(x1,x2)=%f\n', gamma_fixed_step, x0, kk, x_fixed(:, end), f_fixed(end));
|
||||||
|
plotPointsOverContour(x_fixed, fun, XSetLimmits(1, :), XSetLimmits(2, :), 100, point_str + ": Steepest descent proj $s_k$ = " + sk_step + ", $\gamma$ = " + gamma_fixed_step, "figures/StDesProj_sk_" + sk_step + "_gamma_" + gamma + ".png");
|
||||||
|
|
||||||
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 91 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 1.1 MiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 131 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 124 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 109 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 135 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 66 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 110 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 125 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 130 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 132 KiB |
@@ -0,0 +1,49 @@
|
|||||||
|
function [a, b, k, n] = fmin_bisection(fun, alpha, beta, epsilon, lambda)
|
||||||
|
% Bisection method for finding the local minimum of a function.
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% fun: The objective function
|
||||||
|
% alpha: (number) The starting point of the interval in which we seek
|
||||||
|
% for minimum
|
||||||
|
% beta: (number) The ending point of the interval in which we seek
|
||||||
|
% for minimum
|
||||||
|
% epsilon: (number) The epsilon value (distance from midpoint)
|
||||||
|
% lambda: (number) The lambda value (accuracy)
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% return:
|
||||||
|
% a: (vector) Starting points of the interval for each iteration
|
||||||
|
% b: (vector) Ending points of the interval for each iteration
|
||||||
|
% k: (number) The number of iterations
|
||||||
|
% n: (number) The calls of objective function fun_expr
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
% Error checking
|
||||||
|
if alpha > beta || 2*epsilon >= lambda || lambda <= 0
|
||||||
|
error ('Input criteria not met')
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
% Init
|
||||||
|
a = alpha;
|
||||||
|
b = beta;
|
||||||
|
n = 0;
|
||||||
|
|
||||||
|
k=1;
|
||||||
|
while b(k) - a(k) > lambda
|
||||||
|
% bisect [a,b]
|
||||||
|
mid = (a(k) + b(k)) / 2;
|
||||||
|
x_1 = mid - epsilon;
|
||||||
|
x_2 = mid + epsilon;
|
||||||
|
|
||||||
|
% set new search interval
|
||||||
|
k = k + 1;
|
||||||
|
if fun(x_1) < fun(x_2)
|
||||||
|
a(k) = a(k-1);
|
||||||
|
b(k) = x_2;
|
||||||
|
else
|
||||||
|
a(k) = x_1;
|
||||||
|
b(k) = b(k-1);
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,32 @@
|
|||||||
|
function [gamma] = gamma_armijo(f, grad_f, dk, xk)
|
||||||
|
% Calculates the best step based on amijo method
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% f(xk+ γk*dk) ≤ f(xk) + σ * γk * dk^T * ∇f(xk)
|
||||||
|
% γk = β*γk_0
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% f: Objective function
|
||||||
|
% grad_fun: Gradient function of f
|
||||||
|
% dk: Current value of selected direction -∇f or -inv{H}*∇f or -inv{H + lI}*∇f
|
||||||
|
% xk: Current point (x,y)
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
% beta: beta factor in [0.1, 0.5]
|
||||||
|
% signam: sigma factor in (0, 0.1]
|
||||||
|
global amijo_beta
|
||||||
|
global amijo_sigma
|
||||||
|
|
||||||
|
gf = grad_f(xk);
|
||||||
|
gamma = 1; % Start with a step size of 1
|
||||||
|
|
||||||
|
% Perform Armijo line search
|
||||||
|
while f(xk + gamma * dk) > f(xk) + amijo_sigma * gamma * dk * gf
|
||||||
|
%while f(xk(1) + gamma * dk(1), xk(2) + gamma * dk(2)) > ...
|
||||||
|
% f(xk(1), xk(2)) + amijo_sigma * gamma * norm(dk)^2
|
||||||
|
gamma = amijo_beta * gamma; % Reduce step size
|
||||||
|
if gamma < 1e-12 % Safeguard to prevent infinite reduction
|
||||||
|
warning('Armijo step size became too small.');
|
||||||
|
break;
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,12 @@
|
|||||||
|
function [gamma] = gamma_fixed(~, ~, ~, ~)
|
||||||
|
% Return a fixed step
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% This is for completion and code symmetry.
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
global gamma_fixed_step
|
||||||
|
|
||||||
|
% Perform line search
|
||||||
|
gamma = gamma_fixed_step;
|
||||||
|
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,24 @@
|
|||||||
|
function [gamma] = gamma_minimized(f, ~, dk, xk)
|
||||||
|
% Calculates the step based on minimizing f(xk− γk*dk)
|
||||||
|
%
|
||||||
|
%
|
||||||
|
% f: Objective function
|
||||||
|
% ~: Gradient function of f - Not used
|
||||||
|
% dk: Current value of selected direction -∇f or -inv{H}*∇f or -inv{H + lI}*∇f
|
||||||
|
% xk: Current point (x,y)
|
||||||
|
|
||||||
|
% Define the line search function fmin(g) = f(xk - g * dk)
|
||||||
|
fmin = @(g) f(xk) + g * dk;
|
||||||
|
|
||||||
|
% find g that minimizes fmin
|
||||||
|
e = 0.0001;
|
||||||
|
l = 0.001;
|
||||||
|
[a,b,k,~] = fmin_bisection(fmin, 0.0001, 1, e, l); % g in (0, 1]
|
||||||
|
gamma = 0.5*(a(k) + b(k));
|
||||||
|
|
||||||
|
% Define the line search function fmin(g) = f(xk - g * dk)
|
||||||
|
%fmin = @(g) f(xk(1) - gamma * dk(1), xk(2) - gamma * dk(2));
|
||||||
|
|
||||||
|
% find g that minimizes fmin
|
||||||
|
%gamma = fminbnd(g, 0, 1);
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,39 @@
|
|||||||
|
function [x_vals, f_vals, k] = method_SteepDesc(f, grad_f, xk, tol, max_iter, mode)
|
||||||
|
% f: Objective function
|
||||||
|
% grad_f: Gradient of the function
|
||||||
|
% xk: Initial point [x0; y0]
|
||||||
|
% tol: Tolerance for stopping criterion
|
||||||
|
% max_iter: Maximum number of iterations
|
||||||
|
|
||||||
|
% x_vals: Vector with the (x,y) values until minimum
|
||||||
|
% f_vals: Vector with f(x,y) values until minimum
|
||||||
|
% k: Number of iterations
|
||||||
|
|
||||||
|
if strcmp(mode, 'armijo') == 1
|
||||||
|
gamma_f = @(f, grad_f, dk, xk) gamma_armijo(f, grad_f, dk, xk);
|
||||||
|
elseif strcmp(mode, 'minimized') == 1
|
||||||
|
gamma_f = @(f, grad_f, dk, xk) gamma_minimized(f, grad_f, dk, xk);
|
||||||
|
else % mode == 'fixed'
|
||||||
|
gamma_f = @(f, grad_f, dk, xk) gamma_fixed(f, grad_f, dk, xk);
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
% Storage for iterations, begin with the first point
|
||||||
|
x_vals = xk;
|
||||||
|
f_vals = f(xk);
|
||||||
|
for k = 1:max_iter
|
||||||
|
% Check for convergence
|
||||||
|
if norm(grad_f(xk)) < tol
|
||||||
|
break;
|
||||||
|
end
|
||||||
|
dk = - grad_f(xk); % Steepset descent direction
|
||||||
|
|
||||||
|
gk = gamma_f(f, grad_f, dk, xk); % Calculate gamma
|
||||||
|
|
||||||
|
x_next = xk + gk * dk; % Update step
|
||||||
|
f_next = f(x_next);
|
||||||
|
|
||||||
|
xk = x_next; % Update point
|
||||||
|
x_vals = [x_vals, x_next]; % Store values
|
||||||
|
f_vals = [f_vals, f_next]; % Store function values
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,50 @@
|
|||||||
|
function [x_vals, f_vals, k] = method_SteepDesc_Proj(f, grad_f, xk, sk, limmits, tol, max_iter, mode)
|
||||||
|
% f: Objective function
|
||||||
|
% grad_f: Gradient of the function
|
||||||
|
% xk: Initial point [x0; y0]
|
||||||
|
% sk: Step size (fixed positive scalar)
|
||||||
|
% limits: Bounds of the feasible set for each dimension
|
||||||
|
% tol: Tolerance for stopping criterion
|
||||||
|
% max_iter: Maximum number of iterations
|
||||||
|
|
||||||
|
% x_vals: Vector with the (x,y) values until minimum
|
||||||
|
% f_vals: Vector with f(x,y) values until minimum
|
||||||
|
% k: Number of iterations
|
||||||
|
|
||||||
|
if strcmp(mode, 'armijo') == 1
|
||||||
|
gamma_f = @(f, grad_f, dk, xk) gamma_armijo(f, grad_f, dk, xk);
|
||||||
|
elseif strcmp(mode, 'minimized') == 1
|
||||||
|
gamma_f = @(f, grad_f, dk, xk) gamma_minimized(f, grad_f, dk, xk);
|
||||||
|
else % mode == 'fixed'
|
||||||
|
gamma_f = @(f, grad_f, dk, xk) gamma_fixed(f, grad_f, dk, xk);
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
% Project the first point if needed
|
||||||
|
xk = ProjectionPoint(xk, limmits);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Storage for iterations, begin with the first point
|
||||||
|
x_vals = xk;
|
||||||
|
f_vals = f(xk);
|
||||||
|
for k = 1:max_iter
|
||||||
|
% Check for convergence
|
||||||
|
if norm(grad_f(xk)) < tol
|
||||||
|
break;
|
||||||
|
end
|
||||||
|
dk = - grad_f(xk); % Steepset descent direction
|
||||||
|
|
||||||
|
% First calculate xk-bar and project it if nessesary
|
||||||
|
xkbar = xk + sk * dk;
|
||||||
|
xkbar = ProjectionPoint(xkbar, limmits);
|
||||||
|
|
||||||
|
dk = (xkbar - xk); % Steepest descent projection direction
|
||||||
|
|
||||||
|
gk = gamma_f(f, grad_f, dk, xk); % Calculate gamma
|
||||||
|
|
||||||
|
x_next = xk + gk * dk; % Update step
|
||||||
|
f_next = f(x_next);
|
||||||
|
|
||||||
|
xk = x_next; % Update point
|
||||||
|
x_vals = [x_vals, x_next]; % Store values
|
||||||
|
f_vals = [f_vals, f_next]; % Store function values
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,42 @@
|
|||||||
|
function plot3dFun(fun, x_lim, y_lim, size, plot_title, filename)
|
||||||
|
% 3D plots a function
|
||||||
|
% fun: The function to plot
|
||||||
|
% x_lim: The range for x axis. ex: [-2, 2]
|
||||||
|
% y_lim: The range for y axis. ex: [0, 2]
|
||||||
|
% size: The number of points for each axis
|
||||||
|
% plot_title: The latex title for the plot
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
global image_width,
|
||||||
|
global image_height;
|
||||||
|
|
||||||
|
% Generate a grid for x and y
|
||||||
|
x_space = linspace(x_lim(1), x_lim(2), size);
|
||||||
|
y_space = linspace(y_lim(1), y_lim(2), size);
|
||||||
|
[X, Y] = meshgrid(x_space, y_space);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Evaluate the function on the grid
|
||||||
|
for i = 1:size
|
||||||
|
for j = 1:size
|
||||||
|
% Pass each [x1; x2] as input to fun
|
||||||
|
Z(i, j) = fun([X(i, j); Y(i, j)]);
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
% 3D plot
|
||||||
|
figure('Name', 'f(x,y)', 'NumberTitle', 'off');
|
||||||
|
set(gcf, 'Position', [100, 100, image_width, image_height]); % Set the figure size
|
||||||
|
surf(X, Y, Z);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Customize the plot
|
||||||
|
xlabel('x1'); % Label for x-axis
|
||||||
|
ylabel('x2'); % Label for y-axis
|
||||||
|
zlabel('f(x, y)'); % Label for z-axis
|
||||||
|
title(plot_title, 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 16); % Title of the plot
|
||||||
|
colorbar;
|
||||||
|
|
||||||
|
% save the figure
|
||||||
|
if strcmp(filename, '') == 0
|
||||||
|
print(gcf, filename, '-dpng', '-r300');
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,41 @@
|
|||||||
|
function plotContour(fun, x_lim, y_lim, size, plot_title, filename)
|
||||||
|
% plot the contour of a function
|
||||||
|
% fun: The function to plot
|
||||||
|
% x_lim: The range for x axis. ex: [-2, 2]
|
||||||
|
% y_lim: The range for y axis. ex: [0, 2]
|
||||||
|
% size: The number of points for each axis
|
||||||
|
% plot_title: The latex title for the plot
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
global image_width,
|
||||||
|
global image_height;
|
||||||
|
|
||||||
|
% Generate a grid for x and y
|
||||||
|
x_space = linspace(x_lim(1), x_lim(2), size);
|
||||||
|
y_space = linspace(y_lim(1), y_lim(2), size);
|
||||||
|
[X, Y] = meshgrid(x_space, y_space);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Evaluate the function on the grid
|
||||||
|
for i = 1:size
|
||||||
|
for j = 1:size
|
||||||
|
% Pass each [x1; x2] as input to fun
|
||||||
|
Z(i, j) = fun([X(i, j); Y(i, j)]);
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
% Contour
|
||||||
|
figure('Name', 'Contours of f(x1,x2)', 'NumberTitle', 'off');
|
||||||
|
set(gcf, 'Position', [100, 100, image_width, image_height]); % Set the figure size
|
||||||
|
contour(X, Y, Z);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Customize the plot
|
||||||
|
xlabel('x1'); % Label for x-axis
|
||||||
|
ylabel('x2'); % Label for y-axis
|
||||||
|
title(plot_title, 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 16); % Title of the plot
|
||||||
|
colorbar;
|
||||||
|
|
||||||
|
% save the figure
|
||||||
|
if strcmp(filename, '') == 0
|
||||||
|
print(gcf, filename, '-dpng', '-r300');
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,54 @@
|
|||||||
|
function plotConvCompare(points_1, title_1, points_2, title_2, points_3, title_3, Min_point, plot_title, filename)
|
||||||
|
% 3D plots a function
|
||||||
|
% points: The points to plot
|
||||||
|
% contur_fun: The function for contour plot
|
||||||
|
% x_lim: The range for x axis. ex: [-2, 2]
|
||||||
|
% y_lim: The range for y axis. ex: [0, 2]
|
||||||
|
% size: The number of points for each axis
|
||||||
|
% plot_title: The latex title for the plot
|
||||||
|
% filename: The filename to save the plot (if exists)
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
global image_width,
|
||||||
|
global image_height;
|
||||||
|
|
||||||
|
distances_1 = sqrt((points_1(1, :) - Min_point(1)).^2 + (points_1(2, :) - Min_point(2)).^2);
|
||||||
|
distances_2 = sqrt((points_2(1, :) - Min_point(1)).^2 + (points_2(2, :) - Min_point(2)).^2);
|
||||||
|
distances_3 = sqrt((points_3(1, :) - Min_point(1)).^2 + (points_3(2, :) - Min_point(2)).^2);
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
% 2D plot
|
||||||
|
figure('Name', 'Convergence compare', 'NumberTitle', 'off');
|
||||||
|
set(gcf, 'Position', [100, 100, image_width, image_height]); % Set the figure size
|
||||||
|
title(plot_title, 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 16); % Title of the plot
|
||||||
|
|
||||||
|
% One
|
||||||
|
subplot(3, 1, 1);
|
||||||
|
plot(distances_1, '-o');
|
||||||
|
% Customize the plot
|
||||||
|
ylabel(title_1, 'Interpreter', 'none');
|
||||||
|
xlabel('Step');
|
||||||
|
grid on
|
||||||
|
|
||||||
|
% One
|
||||||
|
subplot(3, 1, 2);
|
||||||
|
plot(distances_2, '-o');
|
||||||
|
% Customize the plot
|
||||||
|
ylabel(title_2, 'Interpreter', 'none');
|
||||||
|
xlabel('Step');
|
||||||
|
grid on
|
||||||
|
|
||||||
|
% One
|
||||||
|
subplot(3, 1, 3);
|
||||||
|
plot(distances_3, '-o');
|
||||||
|
% Customize the plot
|
||||||
|
ylabel(title_3, 'Interpreter', 'none');
|
||||||
|
xlabel('Step');
|
||||||
|
grid on
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
% save the figure
|
||||||
|
if strcmp(filename, '') == 0
|
||||||
|
print(gcf, filename, '-dpng', '-r300');
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,28 @@
|
|||||||
|
function plotItersOverGamma(gamma, iterations, plot_title, filename)
|
||||||
|
% 3D plots a function
|
||||||
|
% fun: The points to plot
|
||||||
|
% contur_fun: The function for contour plot
|
||||||
|
% x_lim: The range for x axis. ex: [-2, 2]
|
||||||
|
% y_lim: The range for y axis. ex: [0, 2]
|
||||||
|
% size: The number of points for each axis
|
||||||
|
% plot_title: The latex title for the plot
|
||||||
|
% filename: The filename to save the plot (if exists)
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
global image_width,
|
||||||
|
global image_height;
|
||||||
|
|
||||||
|
figure('Name', 'Iterations_over_gamma', 'NumberTitle', 'off');
|
||||||
|
set(gcf, 'Position', [100, 100, image_width, image_height]); % Set the figure size
|
||||||
|
plot(gamma, iterations, '*r', 'LineWidth', 2);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Customize the plot
|
||||||
|
title(plot_title, 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 16); % Title of the plot
|
||||||
|
xlabel('\gamma') ;
|
||||||
|
ylabel('Iterations');
|
||||||
|
|
||||||
|
% save the figure
|
||||||
|
if strcmp(filename, '') == 0
|
||||||
|
print(gcf, filename, '-dpng', '-r300');
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
@@ -0,0 +1,48 @@
|
|||||||
|
function plotPointsOverContour(points, contour_fun, x_lim, y_lim, size, plot_title, filename)
|
||||||
|
% 3D plots a function
|
||||||
|
% points: The points to plot
|
||||||
|
% contur_fun: The function for contour plot
|
||||||
|
% x_lim: The range for x axis. ex: [-2, 2]
|
||||||
|
% y_lim: The range for y axis. ex: [0, 2]
|
||||||
|
% size: The number of points for each axis
|
||||||
|
% plot_title: The latex title for the plot
|
||||||
|
% filename: The filename to save the plot (if exists)
|
||||||
|
%
|
||||||
|
|
||||||
|
global image_width,
|
||||||
|
global image_height;
|
||||||
|
|
||||||
|
% Generate a grid for x and y
|
||||||
|
x_space = linspace(x_lim(1), x_lim(2), size);
|
||||||
|
y_space = linspace(y_lim(1), y_lim(2), size);
|
||||||
|
[X, Y] = meshgrid(x_space, y_space);
|
||||||
|
|
||||||
|
% Evaluate the function on the grid
|
||||||
|
for i = 1:size
|
||||||
|
for j = 1:size
|
||||||
|
% Pass each [x1; x2] as input to fun
|
||||||
|
Z(i, j) = contour_fun([X(i, j); Y(i, j)]);
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
|
|
||||||
|
% 2D plot
|
||||||
|
figure('Name', '(x1,x2) convergence', 'NumberTitle', 'off');
|
||||||
|
set(gcf, 'Position', [100, 100, image_width, image_height]); % Set the figure size
|
||||||
|
plot(points(1, :), points(2, :), '-or');
|
||||||
|
hold on
|
||||||
|
contour(X, Y, Z);
|
||||||
|
% Customize the plot
|
||||||
|
xlim(x_lim);
|
||||||
|
ylim(y_lim);
|
||||||
|
xlabel('x1'); % Label for x-axis
|
||||||
|
ylabel('x2'); % Label for y-axis
|
||||||
|
grid on
|
||||||
|
|
||||||
|
title(plot_title, 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 16); % Title of the plot
|
||||||
|
colorbar;
|
||||||
|
|
||||||
|
% save the figure
|
||||||
|
if strcmp(filename, '') == 0
|
||||||
|
print(gcf, filename, '-dpng', '-r300');
|
||||||
|
end
|
||||||
|
end
|
||||||
Binary file not shown.
Reference in New Issue
Block a user