%
% !TEX TS-program = xelatex
% !TEX encoding   = UTF-8 Unicode
% !TEX spellcheck = el-GR
%
% System Modeling Lab02 assignment report
%
% Requires compilation with XeLaTeX
%
% authors:
%   Χρήστος Χουτουρίδης ΑΕΜ 8997
%   cchoutou@ece.auth.gr




% Options:
%
% 1) mainlang=<language>
%    Default:  english
%    Set the default language of the document which affects hyphenations,
%    localization (section, dates, etc...)
%
%    example: \documentclass[mainlang=greek]{AUThReport}
%
% 2) <language>
%    Add hyphenation and typesetting support for other languages
%    Currently supports: english, greek, german, frenc
%
%    example: \documentclass[english, greek]{AUThReport}
%
% 3) short: Requests a shorter title for the document
%    Default: no short
%
%    example: \documentclass[short]{AUThReport}
%
\documentclass[a4paper, 11pt, mainlang=greek, english]{AUThReport/AUThReport}

\CurrentDate{\today}

% Greek report document setup suggestions
%---------------------------------
% Document configuration
\AuthorName{Χρήστος Χουτουρίδης}
\AuthorAEM{8997}
\AuthorMail{cchoutou@ece.auth.gr}

%\CoAuthorName{CoAuthor Name}
%\CoAuthorAEM{AEM}
%\CoAuthorMail{CoAuthor Mail}

% \WorkGroup{Ομάδα Χ}

\DocTitle{Εργασία 2}
\DocSubTitle{Μέθοδοι Πραγματικού Χρόνου, Μέθοδος Κλίσης, Μέθοδος Lyapunov}

\Department{Τμήμα ΗΜΜΥ. Τομέας Ηλεκτρονικής}
\ClassName{Προσομοίωση και Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων}

\InstructorName{Γ. Ροβιθάκης}
\InstructorMail{rovithak@auth.gr}

\CoInstructorName{Λ. Μπίκας}
\CoInstructorMail{lnmpikas@ece.auth.gr}


% Local package requirements
%---------------------------------
%\usepackage{tabularx}
%\usepackage{array}
%\usepackage{commath}

\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{float}

\begin{document}

% Request a title page or header
\InsertTitle

\section{Εισαγωγή}

Η παρούσα εργασία ασχολείται με την εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων σε δυναμικά συστήματα μέσω μεθόδων πραγματικού χρόνου, δίνοντας έμφαση στη μέθοδο Lyapunov.
Στο πρώτο σκέλος, μελετάται ένα γραμμικό σύστημα μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης και αναπτύσσονται δύο εκτιμητές — βασισμένοι στις μεθόδους gradient descent και Lyapunov — με στόχο την ταχεία και αξιόπιστη προσέγγιση των φυσικών παραμέτρων του συστήματος.
Εξετάζεται επίσης η επίδραση θορύβου στη μέτρηση της θέσης.
\par
Στο δεύτερο σκέλος, μελετάται ένα μη γραμμικό μοντέλο ρόλισης αεροσκάφους, όπου οι άγνωστες παράμετροι εμπλέκονται μη γραμμικά στις εξισώσεις κίνησης.
Η εκτίμηση συνδυάζεται με ελεγκτή παρακολούθησης τροχιάς, ο οποίος βασίζεται σε κανονικοποιημένα σφάλματα και λογαριθμική κορεσμένη ανάδραση.
Παρουσιάζεται η εκτίμηση των παραμέτρων, καθώς και η ανακατασκευή της εξόδου με βάση τις εκτιμώμενες τιμές.
Τέλος, μελετάται η ευαισθησία του εκτιμητή παρουσία εξωτερικών διαταραχών.

\subsection{Παραδοτέα}
Τα παραδοτέα της εργασίας αποτελούνται από:
\begin{itemize}
    \item Την παρούσα αναφορά.
    \item Τον κατάλογο \textbf{scripts/}, που περιέχει τον κώδικα της MATLAB.
    \item Το \href{https://git.hoo2.net/hoo2/SystemModling/src/branch/master/Lab02}{σύνδεσμο} με το αποθετήριο που περιέχει όλο το project με τον κώδικα της MATLAB, της αναφοράς και τα παραδοτέα.
\end{itemize}

\section{Θέμα 1}

\subsection{1α - Gradient Estimation}

Το σύστημα που μελετάται είναι το κλασικό σύστημα μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης:
\[
m\ddot{x}(t) + b\dot{x}(t) + kx(t) = u(t)
\]
το οποίο αναδιατυπώνεται γραμμικά ως προς τις άγνωστες παραμέτρους:
\[
y(t) = u(t) = \theta^{\top} u(t), \quad \text{με } \theta = [m,\, b,\, k]^{\top},\ u(t) = [\ddot{x}(t),\, \dot{x}(t),\, x(t)]^{\top}
\]
Ο εκτιμητής gradient έχει τη μορφή:
\[
\dot{\hat{\theta}}(t) = \gamma \cdot u(t) \cdot \left(y(t) - \hat{\theta}^{\top}(t) u(t)\right)
\]

Η προσομοίωση του ``πραγματικού'' συστήματος υλοποιήθηκε μέσω της μεθόδου Runge–Kutta 4ης τάξης (RK4), ενώ οι παράγωγοι υπολογίστηκαν με διαφορικό σχήμα.
Το script επιτρέπει επιλογή μεταξύ normalized και unnormalized εκτιμητή και διαφορετικές τιμές $\gamma$.

\subsubsection{Σύγκριση Normalized vs Unnormalized}

Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για $\gamma = 0.66$ και $T=30$ sec, για τις δύο περιπτώσεις.
Οι εκτιμήσεις είναι διαφορετικές, κυρίως στις παραμέτρους $m$ και $b$ — γεγονός που υποδηλώνει πως η χρήση normalization επηρεάζει όχι μόνο τη δυναμική, αλλά και το σημείο σύγκλισης.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_constant_gamma0.660_Unnormalized_30s.png}
        \caption{Constant input, unnormalized}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_constant_gamma0.660_Normalized_30s.png}
        \caption{Constant input, normalized}
    \end{subfigure}

    \vspace{0.5cm}

    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_sine_gamma0.660_Unnormalized_30s.png}
        \caption{Sine input, unnormalized}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_sine_gamma0.660_Normalized_30s.png}
        \caption{Sine input, normalized}
    \end{subfigure}
    \caption{Σύγκριση εκτίμησης παραμέτρων με και χωρίς normalization, για $\gamma = 0.66$ και $T=30$ sec.}
    \label{gradient_1a}
\end{figure}

Από το σχήμα \ref{gradient_1a} παρατηρούμε ότι το σύστημα απαιτεί σημαντικό χρονικό διάστημα για να συγκλίνει σε σταθερές τιμές.
Ειδικά για μικρές τιμές του $\gamma$, η σύγκλιση είναι πιο αργή αλλά ομαλότερη, η τιμή του οποίου επιλέχθηκε με δοκιμαστικές εκτελέσεις.
Παρόλα αυτά το σύστημα παρουσίαζε μεγάλες ταλαντώσεις.
Για το λόγο αυτό επιλέχθηκε να γίνει κανονικοποίηση στη μέθοδο κλίσης (normalized gradient update).
Η χρήση κανονικοποίησης βελτιώνει σημαντικά τη σταθερότητα του εκτιμητή και οδηγεί σε εκτιμήσεις με μικρότερη διακύμανση, ιδιαίτερα για τις παραμέτρους $m$ και $b$.
Ωστόσο, ακόμη και με κανονικοποίηση, το σφάλμα εκτίμησης παραμένει, γεγονός που πιθανόν οφείλεται είτε στην αριθμητική προσέγγιση των παραγώγων είτε στο ότι η είσοδος δεν διεγείρει επαρκώς όλες τις δυναμικές του συστήματος.
\par
Η πρώτη εκτέλεση (για $T=30s$ και $\gamma=0.66$) ανέδειξε αυτές τις διαφορές: χωρίς normalization παρατηρήθηκαν εντονότερες αποκλίσεις, ενώ με normalization η σύγκλιση ήταν πιο σταθερή, ειδικά για την παράμετρο $b$.

\subsubsection{Διερεύνηση επίδρασης της παραμέτρου $\gamma$}

Προκειμένου να κατανοήσουμε καλύτερα την επίδραση του $\gamma$, εκτελέσαμε το script με τιμές $\gamma = 0.33,\ 0.50,\ 0.66$ και normalized update.
Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τις τελικές τιμές εκτίμησης για κάθε περίπτωση:

\begin{table}[H]
    \centering
    \caption{Τελικές εκτιμήσεις παραμέτρων για διαφορετικές τιμές $\gamma$ (με normalized update)}
    \label{tab:gamma_comparison}
    \begin{tabular}{r c c c c}
        \textbf{Σήμα} & \textbf{$\gamma$}  & $\hat{m}$ & $\hat{b}$ & $\hat{k}$ \\
        \hline
        σταθερό      & 0.33 & 0.9963 & 0.6650          & \textbf{0.7143} \\
        σταθερό      & 0.50 & 0.9726 & 0.5558          & \textbf{0.7119} \\
        σταθερό      & 0.66 & 0.9475 & 0.4795          & \textbf{0.7107} \\
        ημιτονοειδές & 0.33 & 1.1492 & \textbf{0.2452} & 0.5622 \\
        ημιτονοειδές & 0.50 & 1.1033 & \textbf{0.2326} & 0.5097 \\
        ημιτονοειδές & 0.66 & 1.0672 & \textbf{0.2350} & 0.4735 \\
        \hline
        Πραγματικές  & --   & 1.315  & 0.225  & 0.725  \\
    \end{tabular}
\end{table}

\subsubsection{Παρατήρηση επιλεκτικής εκτίμησης ανάλογα με το είδος εισόδου}

Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων προκύπτει ότι η εκτίμηση της $k$ προσεγγίζεται επιτυχώς κυρίως όταν το σύστημα διεγείρεται με σταθερό σήμα.
Αυτό είναι λογικό, καθώς σε σταθερή είσοδο κυριαρχεί η στατική απόκριση του συστήματος, στην οποία η $k$ (σταθερά ελατηρίου) έχει άμεση επίδραση.
\par
Αντίθετα, σε ημιτονοειδές σήμα, οι παραγώγοι της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ποικίλουν έντονα και επαναληπτικά, ενισχύοντας τη συμβολή των $m$ και $b$ στη δυναμική του σήματος.
Παρατηρούμε ότι σε αυτές τις περιπτώσεις η εκτίμηση της $b$ είναι σαφώς βελτιωμένη.
\par
Η διαφοροποίηση αυτή υποδεικνύει ότι η επιμονή διέγερσης (persistence of excitation) που απαιτείται για την εκτίμηση όλων των παραμέτρων δεν ικανοποιείται εξίσου από κάθε τύπο εισόδου.
Για να επιτευχθεί συνολική παρατηρησιμότητα, ενδεχομένως να απαιτείται πιο σύνθετο ή ακόμα και στοχαστικό σήμα εισόδου (π.χ. sum-of-sines ή PRBS).


\subsection{1β – Εκτίμηση παραμέτρων με μέθοδο Lyapunov}

Η μέθοδος Lyapunov προσφέρει μία πιο θεωρητικά τεκμηριωμένη προσέγγιση για την εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων, καθώς βασίζεται στον σχεδιασμό κατάλληλης συνάρτησης Lyapunov που εγγυάται τη σύγκλιση των σφαλμάτων εκτίμησης.
Η εκτίμηση των παραμέτρων βασίστηκε στην ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος μεταξύ της πραγματικής εισόδου $u(t)$ και της εκτιμώμενης εξόδου του μοντέλου:
\[
\hat{y}(t) = \hat{\theta}^\top \phi(t)
\]
όπου:
\[
y(t) = u(t), \quad \phi(t) = [\ddot{x}(t),\ \dot{x}(t),\ x(t)]^\top
\]

Η συνάρτηση κόστους ορίζεται ως:
\[
K(\hat{\theta}) = \frac{1}{2} (y(t) - \hat{y}(t))^2 = \frac{1}{2} e^2(t)
\]
και η προσαρμογή των παραμέτρων γίνεται με βάση τον κανόνα gradient descent:
\[
\dot{\hat{\theta}} = -\gamma \cdot \nabla K(\hat{\theta}) = \gamma \cdot e(t) \cdot \phi(t)
\]

Αυτή η μορφή δεν απαιτεί ξεχωριστό βοηθητικό δυναμικό μοντέλο ή υπολογισμό σφαλμάτων κατάστασης, αλλά στηρίζεται αποκλειστικά σε παρατηρήσιμα σήματα και προβλέψιμη γραμμική εξίσωση ως προς τις παραμέτρους.
Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει καλύτερη σταθερότητα σε σχέση με τη μέθοδο gradient, ειδικά όταν η είσοδος δεν πληροί πλήρως τη συνθήκη επιμονής διέγερσης.
Επιπλέον, η εισαγωγή της παραμέτρου $\gamma$ επιτρέπει τον έλεγχο της ταχύτητας προσαρμογής, χωρίς να απαιτείται normalization.

\subsubsection{Υλοποίηση Εκτιμητή}

Ο εκτιμητής Lyapunov υλοποιήθηκε με βάση το παραπάνω θεωρητικό μοντέλο.
Επιπλέον, ανακατασκευάστηκε η έξοδος του συστήματος $x(t)$ με βάση τις εκτιμώμενες παραμέτρους, ώστε να συγκριθεί η πραγματική έξοδος με την εκτιμώμενη $\hat{x}(t)$ και να υπολογιστεί το σφάλμα $e_x(t) = x(t) - \hat{x}(t)$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1b_lyapunov_gamma0.660_40s.png}
        \caption{Εκτίμηση παραμέτρων με τη μέθοδο Lyapunov}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
        \includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1b_extrastates_gamma0.660_40s.png}
        \caption{Αντίδραση συστήματος και σφάλμα εκτίμησης θέσης}
    \end{subfigure}
    \caption{Συγκριτική παρουσίαση εκτίμησης παραμέτρων και εξόδου (για $\gamma=0.66$, $T=40s$)}
    \label{lyapunov_1b}
\end{figure}

Όπως φαίνεται και από το σχήμα \ref{lyapunov_1b} η μέθοδος Lyapunov οδήγησε σε σταθερή και σχετικά ακριβή εκτίμηση των παραμέτρων του συστήματος.
Η τελική εκτίμηση των παραμέτρων μετά από $40s$ ήταν:
\[
\hat{m} = 0.8428,\quad \hat{b} = 0.2201,\quad \hat{k} = 0.2620
\]
Παρατηρείται ότι οι εκτίμηση για το $b$ συγκλίνει σε τιμές κοντά στις πραγματικές, ενώ η εκτιμήσεις του $m$ και $k$ αποκλίνουν σημαντικά, ομοίως με τη μέθοδο gradient estimation.
\par
Η ανακατασκευή της εξόδου $\hat{x}(t)$ παρόλα αυτά, με βάση το εκτιμώμενο μοντέλο παρουσίασε πολύ καλή συμφωνία με την πραγματική $x(t)$, με το σφάλμα θέσης $e_x(t)$ να παραμένει κάτω από $0.6$ καθ' όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης.
Αυτό ενισχύει την αξιοπιστία της εκτίμησης και αποδεικνύει την αποτελεσματικότητα της μεθόδου σε σταθερές συνθήκες.

\subsection{1γ – Επίδραση διαταραχής στη μέτρηση x(t)}

Για τη μελέτη της ευαισθησίας της μεθόδου Lyapunov στην παρουσία θορύβου, προστέθηκε στο σήμα της θέσης $x(t)$ μια ημιτονοειδής διαταραχή της μορφής:
\[
\eta(t) = \eta_0 \cdot \sin(2\pi f_0 t)
\]
με πλάτος $\eta_0 = 0.1$ και συχνότητα $f_0 = 0.5\,\text{Hz}$.

Ο εκτιμητής παραμένει ίδιος με αυτόν του Θέματος 1β.
Η εκτίμηση έγινε δύο φορές: μία με καθαρό σήμα $x(t)$ και μία με διαταραχή $x(t) + \eta(t)$, ενώ οι παράγωγοι $\dot{x}(t)$ και $\ddot{x}(t)$ υπολογίστηκαν από το καθαρό σήμα ώστε να αποφευχθεί υπερβολική αριθμητική αστάθεια.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Prob1c_disturbance_eta0.10.png}
    \caption{Σύγκριση εκτιμήσεων με και χωρίς διαταραχή ($\eta_0 = 0.1$)}
    \label{fig:disturbance}
\end{figure}

Από το σχήμα \ref{fig:disturbance} παρατηρούμε ότι η προσθήκη περιορισμένης διαταραχής στη μέτρηση της θέσης επηρεάζει ελάχιστα την εκτίμηση.
Οι τελικές τιμές των παραμέτρων συγκλίνουν σχεδόν ταυτόσημα με την καθαρή περίπτωση:
\[
\hat{m} = 0.8432, \quad \hat{b} = 0.2195, \quad \hat{k} = 0.2590
\]

Η μικρή επίδραση οφείλεται στο γεγονός ότι η διαταραχή:
\begin{itemize}
    \item είναι ομαλή και περιοδική (χαμηλή συχνότητα),
    \item φιλτράρεται έμμεσα μέσα από το μοντέλο,
    \item δεν επηρεάζει τις παραγώγους που χρησιμοποιούνται στον εκτιμητή.
\end{itemize}

Συνεπώς, ο εκτιμητής Lyapunov παρουσιάζει ικανοποιητική ανοσία σε ήπια διαταραχή, γεγονός που ενισχύει τη χρησιμότητά του σε ρεαλιστικά σενάρια μέτρησης.

\section{Θέμα 2}

Το σύστημα που εξετάζεται είναι ένα δυναμικό μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης που περιγράφει τη ροπή κύλισης (roll motion) ενός αεροσκάφους:
\[
\ddot{r}(t) = -a_1 \dot{r}(t) - a_2 \sin(r(t)) + a_3 \dot{r}^2 \sin(2r(t)) + b u(t) + d(t)
\]
Όπου:
\begin{itemize}
    \item $r(t)$ είναι η γωνία roll,
    \item $u(t)$ είναι η είσοδος (σήμα ελέγχου),
    \item $d(t)$ είναι εξωτερική διαταραχή,
    \item $a_1, a_2, a_3, b$ είναι άγνωστες σταθερές παραμέτρων.
\end{itemize}

Η δομή του συστήματος επιβάλλει την κατασκευή εκτιμητή παραμέτρων σε πραγματικό χρόνο.
Το βασικό βήμα είναι η αναγραφή της εξίσωσης σε μορφή γραμμική ως προς τις άγνωστες παραμέτρους:
\[
\ddot{r}(t) = \theta^\top \phi(t)
\quad \text{με } \theta = [a_1,\, a_2,\, a_3,\, b]^\top,\quad
\phi(t) = [-\dot{r}(t),\, -\sin(r(t)),\, \dot{r}^2(t)\sin(2r(t)),\, u(t)]^\top
\]
Η είσοδος $u(t)$ πρέπει να σχεδιαστεί κατάλληλα ώστε το σύστημα να ακολουθεί τη ζητούμενη τροχιά ακόμη και παρουσία άγνωστων παραμέτρων.
Για τον σκοπό αυτό, προτείνεται η χρήση ενός ελεγκτή ανάδρασης που βασίζεται σε κανονικοποιημένα σφάλματα και σε μια smooth συνάρτηση κορεσμού της μορφής:
\[
T(z) = \ln\left(\frac{1 + z}{1 - z}\right)
\]
Η συνάρτηση $T(z)$ χρησιμοποιείται για να περιορίσει την έξοδο του ελεγκτή όταν τα σφάλματα γίνονται μεγάλα, αποτρέποντας απότομες ή μη ρεαλιστικές εντολές ελέγχου.
Τα σφάλματα κανονικοποιούνται με χρονικά μεταβαλλόμενα ή σταθερά φράγματα, ώστε να εξασφαλίζεται η σταθερότητα και η συμβατότητα με φυσικούς περιορισμούς του συστήματος.

Ο ελεγκτής βασίζεται σε δύο επίπεδα ανάδρασης.
Πρώτα, υπολογίζεται ένα setpoint ταχύτητας:
\[
z_1(t) = \frac{r(t) - r_d(t)}{\phi(t)}, \quad \alpha(t) = -k_1 T(z_1(t))
\]
όπου $r_d(t)$ είναι η επιθυμητή τροχιά και $\phi(t)$ ένα χρονικά φθίνον φράγμα σφάλματος.

Στη συνέχεια, υπολογίζεται η τελική είσοδος ελέγχου:
\[
z_2(t) = \frac{\dot{r}(t) - \alpha(t)}{\rho}, \quad u(t) = -k_2 T(z_2(t))
\]
με σταθερό φράγμα $\rho$ και ενισχυτικό κέρδος $k_2$.
Το σχήμα αυτό επιτρέπει υψηλή ακρίβεια παρακολούθησης (καθώς $\phi_\infty \downarrow$) και ταυτόχρονα περιορίζει τις μεταβατικές ταλαντώσεις μέσω της δομής κορεσμού.

Η μελέτη επεκτείνεται και σε περιπτώσεις με εξωτερικές διαταραχές $d(t)$, όπου αξιολογείται η ευρωστία του εκτιμητή και του ελεγκτή.

\subsection{2α – Εκτίμηση παραμέτρων σε μη γραμμικό σύστημα roll χωρίς διαταραχές}

Εξετάζουμε ένα μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης που μοντελοποιεί τη ροπή κύλισης (roll) αεροσκάφους, του οποίου η τροχιά αναφοράς ακολουθεί την προδιαγραφή:
\[
r_d(t) =
\begin{cases}
    0, & 0 \leq t < 10 \\
    \frac{\pi}{10}, & 10 \leq t < 20 \\
    0, & t \geq 20
\end{cases}
\]

Για την παρακολούθηση τροχιάς χρησιμοποιείται ελεγκτής ανάδρασης που περιγράφηκε παραπάνω

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Problem2a_estimation.png}
    \caption{Εκτίμηση παραμέτρων και παρακολούθηση τροχιάς για το Θέμα 2α (χωρίς διαταραχή)}
    \label{fig:2a}
\end{figure}

Από το σχήμα \ref{fig:2a} φαίνεται ότι η σύγκλιση των παραμέτρων είναι ομαλή και σχετικά ακριβής:
\[
\hat{a}_1 = 1.4970,\quad \hat{a}_2 = 1.0015,\quad \hat{a}_3 = 0.7439,\quad \hat{b} = 2.0051
\]
με τις πραγματικές τιμές να είναι $a_1 = 2.0$, $a_2 = 1.0$, $a_3 = 0.5$, $b = 2.0$.
Παρατηρούμε ότι οι παράμετροι $a_2$ και $b$ εκτιμώνται με υψηλή ακρίβεια, ενώ οι $a_1$ και $a_3$ εκτιμούνται με χαμηλή ακρίβεια.
\par
Η παρακολούθηση της επιθυμητής τροχιάς παρόλα αυτά είναι επιτυχής, με το $r(t)$ να ακολουθεί το $r_d(t)$ εντός των ορίων που ορίζει το φράγμα $\phi(t)$ καθ’ όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης.

\subsection{2β – Εκτίμηση παραμέτρων και ανακατασκευή κατάστασης με μετρήσιμα r(t), ṙ(t), u(t)}

Σε αυτό το Θέμα εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία είναι μετρήσιμα τα σήματα $r(t)$, $\dot{r}(t)$ και $u(t)$, και ζητείται η εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων του συστήματος καθώς και η ανακατασκευή της γωνίας roll $r(t)$ μέσω της εκτιμημένης δυναμικής.

Το σύστημα που προσομοιώνεται παραμένει:
\[
\ddot{r}(t) = -a_1 \dot{r}(t) - a_2 \sin(r(t)) + a_3 \dot{r}^2 \sin(2r(t)) + b u(t)
\]

Οι παράμετροι εκτιμώνται χρησιμοποιώντας τη μορφή:
\[
\hat{\theta}(k+1) = \hat{\theta}(k) + \gamma \cdot e(t) \cdot \phi(t)
\quad \text{όπου } \phi(t) = [-\dot{r}, -\sin(r), \dot{r}^2\sin(2r), u(t)]^\top
\]

Η έξοδος του συστήματος $r(t)$ ανακατασκευάζεται από την εκτιμώμενη επιτάχυνση:
\[
\hat{\ddot{r}}(t) = \hat{\theta}^\top \phi(\hat{r}(t), \hat{\dot{r}}(t), u(t)).
\]

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Problem2b_estimation.png}
    \caption{Εκτίμηση παραμέτρων και ανακατασκευή κατάστασης για το Θέμα 2β}
    \label{fig:2b}
\end{figure}

Η εκτίμηση παραμέτρων συγκλίνει σε πολύ καλές τιμές:
\[
\hat{a}_1 = 1.4970,\quad \hat{a}_2 = 1.0015,\quad \hat{a}_3 = 0.7439,\quad \hat{b} = 2.0051
\]
Όπως φαίνεται στο σχήμα \ref{fig:2b}, ενώ η ανακατασκευή της κατάστασης $r(t)$ είναι εύστοχη, με σφάλμα $e_r(t)$ να διατηρείται κάτω από $0.05\,\text{rad}$.
Η ελαφριά χρονική υστέρηση και υποεκτίμηση σε ορισμένα διαστήματα οφείλονται στο ότι η ανακατασκευή γίνεται με βάση εκτιμώμενες παραμέτρους και αρχικές μηδενικές συνθήκες.
Συνολικά, η μέθοδος Lyapunov αποδείχθηκε κατάλληλη για ταυτόχρονη εκτίμηση και παρακολούθηση σε πραγματικό χρόνο με αξιόπιστα αποτελέσματα.


\end{document}