398 lines
27 KiB
TeX
398 lines
27 KiB
TeX
%
|
||
% !TEX TS-program = xelatex
|
||
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode
|
||
% !TEX spellcheck = el-GR
|
||
%
|
||
% System Modeling Lab02 assignment report
|
||
%
|
||
% Requires compilation with XeLaTeX
|
||
%
|
||
% authors:
|
||
% Χρήστος Χουτουρίδης ΑΕΜ 8997
|
||
% cchoutou@ece.auth.gr
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
% Options:
|
||
%
|
||
% 1) mainlang=<language>
|
||
% Default: english
|
||
% Set the default language of the document which affects hyphenations,
|
||
% localization (section, dates, etc...)
|
||
%
|
||
% example: \documentclass[mainlang=greek]{AUThReport}
|
||
%
|
||
% 2) <language>
|
||
% Add hyphenation and typesetting support for other languages
|
||
% Currently supports: english, greek, german, frenc
|
||
%
|
||
% example: \documentclass[english, greek]{AUThReport}
|
||
%
|
||
% 3) short: Requests a shorter title for the document
|
||
% Default: no short
|
||
%
|
||
% example: \documentclass[short]{AUThReport}
|
||
%
|
||
\documentclass[a4paper, 11pt, mainlang=greek, english]{AUThReport/AUThReport}
|
||
|
||
\CurrentDate{\today}
|
||
|
||
% Greek report document setup suggestions
|
||
%---------------------------------
|
||
% Document configuration
|
||
\AuthorName{Χρήστος Χουτουρίδης}
|
||
\AuthorAEM{8997}
|
||
\AuthorMail{cchoutou@ece.auth.gr}
|
||
|
||
%\CoAuthorName{CoAuthor Name}
|
||
%\CoAuthorAEM{AEM}
|
||
%\CoAuthorMail{CoAuthor Mail}
|
||
|
||
% \WorkGroup{Ομάδα Χ}
|
||
|
||
\DocTitle{Εργασία 2}
|
||
\DocSubTitle{Μέθοδοι Πραγματικού Χρόνου, Μέθοδος Κλίσης, Μέθοδος Lyapunov}
|
||
|
||
\Department{Τμήμα ΗΜΜΥ. Τομέας Ηλεκτρονικής}
|
||
\ClassName{Προσομοίωση και Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων}
|
||
|
||
\InstructorName{Γ. Ροβιθάκης}
|
||
\InstructorMail{rovithak@auth.gr}
|
||
|
||
\CoInstructorName{Λ. Μπίκας}
|
||
\CoInstructorMail{lnmpikas@ece.auth.gr}
|
||
|
||
|
||
% Local package requirements
|
||
%---------------------------------
|
||
%\usepackage{tabularx}
|
||
%\usepackage{array}
|
||
%\usepackage{commath}
|
||
|
||
\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{subcaption}
|
||
\usepackage{float}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
% Request a title page or header
|
||
\InsertTitle
|
||
|
||
\section{Εισαγωγή}
|
||
|
||
Η παρούσα εργασία ασχολείται με την εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων σε δυναμικά συστήματα μέσω μεθόδων πραγματικού χρόνου, δίνοντας έμφαση στη μέθοδο Lyapunov.
|
||
Στο πρώτο σκέλος, μελετάται ένα γραμμικό σύστημα μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης και αναπτύσσονται δύο εκτιμητές — βασισμένοι στις μεθόδους gradient descent και Lyapunov — με στόχο την ταχεία και αξιόπιστη προσέγγιση των φυσικών παραμέτρων του συστήματος.
|
||
Εξετάζεται επίσης η επίδραση θορύβου στη μέτρηση της θέσης.
|
||
\par
|
||
Στο δεύτερο σκέλος, μελετάται ένα μη γραμμικό μοντέλο ρόλισης αεροσκάφους, όπου οι άγνωστες παράμετροι εμπλέκονται μη γραμμικά στις εξισώσεις κίνησης.
|
||
Η εκτίμηση συνδυάζεται με ελεγκτή παρακολούθησης τροχιάς, ο οποίος βασίζεται σε κανονικοποιημένα σφάλματα και λογαριθμική κορεσμένη ανάδραση.
|
||
Παρουσιάζεται η εκτίμηση των παραμέτρων, καθώς και η ανακατασκευή της εξόδου με βάση τις εκτιμώμενες τιμές.
|
||
Τέλος, μελετάται η ευαισθησία του εκτιμητή παρουσία εξωτερικών διαταραχών.
|
||
|
||
\subsection{Παραδοτέα}
|
||
Τα παραδοτέα της εργασίας αποτελούνται από:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Την παρούσα αναφορά.
|
||
\item Τον κατάλογο \textbf{scripts/}, που περιέχει τον κώδικα της MATLAB.
|
||
\item Το \href{https://git.hoo2.net/hoo2/SystemModling/src/branch/master/Lab02}{σύνδεσμο} με το αποθετήριο που περιέχει όλο το project με τον κώδικα της MATLAB, της αναφοράς και τα παραδοτέα.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\section{Θέμα 1}
|
||
|
||
\subsection{1α - Gradient Estimation}
|
||
|
||
Το σύστημα που μελετάται είναι το κλασικό σύστημα μάζας-ελατηρίου-απόσβεσης:
|
||
\[
|
||
m\ddot{x}(t) + b\dot{x}(t) + kx(t) = u(t)
|
||
\]
|
||
το οποίο αναδιατυπώνεται γραμμικά ως προς τις άγνωστες παραμέτρους:
|
||
\[
|
||
y(t) = u(t) = \theta^{\top} u(t), \quad \text{με } \theta = [m,\, b,\, k]^{\top},\ u(t) = [\ddot{x}(t),\, \dot{x}(t),\, x(t)]^{\top}
|
||
\]
|
||
Ο εκτιμητής gradient έχει τη μορφή:
|
||
\[
|
||
\dot{\hat{\theta}}(t) = \gamma \cdot u(t) \cdot \left(y(t) - \hat{\theta}^{\top}(t) u(t)\right)
|
||
\]
|
||
|
||
Η προσομοίωση του ``πραγματικού'' συστήματος υλοποιήθηκε μέσω της μεθόδου Runge–Kutta 4ης τάξης (RK4), ενώ οι παράγωγοι υπολογίστηκαν με διαφορικό σχήμα.
|
||
Το script επιτρέπει επιλογή μεταξύ normalized και unnormalized εκτιμητή και διαφορετικές τιμές $\gamma$.
|
||
|
||
\subsubsection{Σύγκριση Normalized vs Unnormalized}
|
||
|
||
Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για $\gamma = 0.66$ και $T=30$ sec, για τις δύο περιπτώσεις.
|
||
Οι εκτιμήσεις είναι διαφορετικές, κυρίως στις παραμέτρους $m$ και $b$ — γεγονός που υποδηλώνει πως η χρήση normalization επηρεάζει όχι μόνο τη δυναμική, αλλά και το σημείο σύγκλισης.
|
||
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_constant_gamma0.660_Unnormalized_30s.png}
|
||
\caption{Constant input, unnormalized}
|
||
\end{subfigure}
|
||
\hfill
|
||
\begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_constant_gamma0.660_Normalized_30s.png}
|
||
\caption{Constant input, normalized}
|
||
\end{subfigure}
|
||
|
||
\vspace{0.5cm}
|
||
|
||
\begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_sine_gamma0.660_Unnormalized_30s.png}
|
||
\caption{Sine input, unnormalized}
|
||
\end{subfigure}
|
||
\hfill
|
||
\begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1a_estimation_sine_gamma0.660_Normalized_30s.png}
|
||
\caption{Sine input, normalized}
|
||
\end{subfigure}
|
||
\caption{Σύγκριση εκτίμησης παραμέτρων με και χωρίς normalization, για $\gamma = 0.66$ και $T=30$ sec.}
|
||
\label{gradient_1a}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Από το σχήμα \ref{gradient_1a} παρατηρούμε ότι το σύστημα απαιτεί σημαντικό χρονικό διάστημα για να συγκλίνει σε σταθερές τιμές.
|
||
Ειδικά για μικρές τιμές του $\gamma$, η σύγκλιση είναι πιο αργή αλλά ομαλότερη, η τιμή του οποίου επιλέχθηκε με δοκιμαστικές εκτελέσεις.
|
||
Παρόλα αυτά το σύστημα παρουσίαζε μεγάλες ταλαντώσεις.
|
||
Για το λόγο αυτό επιλέχθηκε να γίνει κανονικοποίηση στη μέθοδο κλίσης (normalized gradient update).
|
||
Η χρήση κανονικοποίησης βελτιώνει σημαντικά τη σταθερότητα του εκτιμητή και οδηγεί σε εκτιμήσεις με μικρότερη διακύμανση, ιδιαίτερα για τις παραμέτρους $m$ και $b$.
|
||
Ωστόσο, ακόμη και με κανονικοποίηση, το σφάλμα εκτίμησης παραμένει, γεγονός που πιθανόν οφείλεται είτε στην αριθμητική προσέγγιση των παραγώγων είτε στο ότι η είσοδος δεν διεγείρει επαρκώς όλες τις δυναμικές του συστήματος.
|
||
\par
|
||
Η πρώτη εκτέλεση (για $T=30s$ και $\gamma=0.66$) ανέδειξε αυτές τις διαφορές: χωρίς normalization παρατηρήθηκαν εντονότερες αποκλίσεις, ενώ με normalization η σύγκλιση ήταν πιο σταθερή, ειδικά για την παράμετρο $b$.
|
||
|
||
\subsubsection{Διερεύνηση επίδρασης της παραμέτρου $\gamma$}
|
||
|
||
Προκειμένου να κατανοήσουμε καλύτερα την επίδραση του $\gamma$, εκτελέσαμε το script με τιμές $\gamma = 0.33,\ 0.50,\ 0.66$ και normalized update.
|
||
Ο πίνακας που ακολουθεί παρουσιάζει τις τελικές τιμές εκτίμησης για κάθε περίπτωση:
|
||
|
||
\begin{table}[H]
|
||
\centering
|
||
\caption{Τελικές εκτιμήσεις παραμέτρων για διαφορετικές τιμές $\gamma$ (με normalized update)}
|
||
\label{tab:gamma_comparison}
|
||
\begin{tabular}{r c c c c}
|
||
\textbf{Σήμα} & \textbf{$\gamma$} & $\hat{m}$ & $\hat{b}$ & $\hat{k}$ \\
|
||
\hline
|
||
σταθερό & 0.33 & 0.9963 & 0.6650 & \textbf{0.7143} \\
|
||
σταθερό & 0.50 & 0.9726 & 0.5558 & \textbf{0.7119} \\
|
||
σταθερό & 0.66 & 0.9475 & 0.4795 & \textbf{0.7107} \\
|
||
ημιτονοειδές & 0.33 & 1.1492 & \textbf{0.2452} & 0.5622 \\
|
||
ημιτονοειδές & 0.50 & 1.1033 & \textbf{0.2326} & 0.5097 \\
|
||
ημιτονοειδές & 0.66 & 1.0672 & \textbf{0.2350} & 0.4735 \\
|
||
\hline
|
||
Πραγματικές & -- & 1.315 & 0.225 & 0.725 \\
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\subsubsection{Παρατήρηση επιλεκτικής εκτίμησης ανάλογα με το είδος εισόδου}
|
||
|
||
Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων προκύπτει ότι η εκτίμηση της $k$ προσεγγίζεται επιτυχώς κυρίως όταν το σύστημα διεγείρεται με σταθερό σήμα.
|
||
Αυτό είναι λογικό, καθώς σε σταθερή είσοδο κυριαρχεί η στατική απόκριση του συστήματος, στην οποία η $k$ (σταθερά ελατηρίου) έχει άμεση επίδραση.
|
||
\par
|
||
Αντίθετα, σε ημιτονοειδές σήμα, οι παραγώγοι της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ποικίλουν έντονα και επαναληπτικά, ενισχύοντας τη συμβολή των $m$ και $b$ στη δυναμική του σήματος.
|
||
Παρατηρούμε ότι σε αυτές τις περιπτώσεις η εκτίμηση της $b$ είναι σαφώς βελτιωμένη.
|
||
\par
|
||
Η διαφοροποίηση αυτή υποδεικνύει ότι η επιμονή διέγερσης (persistence of excitation) που απαιτείται για την εκτίμηση όλων των παραμέτρων δεν ικανοποιείται εξίσου από κάθε τύπο εισόδου.
|
||
Για να επιτευχθεί συνολική παρατηρησιμότητα, ενδεχομένως να απαιτείται πιο σύνθετο ή ακόμα και στοχαστικό σήμα εισόδου (π.χ. sum-of-sines ή PRBS).
|
||
|
||
|
||
\subsection{1β – Εκτίμηση παραμέτρων με μέθοδο Lyapunov}
|
||
|
||
Η μέθοδος Lyapunov προσφέρει μία πιο θεωρητικά τεκμηριωμένη προσέγγιση για την εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων, καθώς βασίζεται στον σχεδιασμό κατάλληλης συνάρτησης Lyapunov που εγγυάται τη σύγκλιση των σφαλμάτων εκτίμησης.
|
||
Η εκτίμηση των παραμέτρων βασίστηκε στην ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος μεταξύ της πραγματικής εισόδου $u(t)$ και της εκτιμώμενης εξόδου του μοντέλου:
|
||
\[
|
||
\hat{y}(t) = \hat{\theta}^\top \phi(t)
|
||
\]
|
||
όπου:
|
||
\[
|
||
y(t) = u(t), \quad \phi(t) = [\ddot{x}(t),\ \dot{x}(t),\ x(t)]^\top
|
||
\]
|
||
|
||
Η συνάρτηση κόστους ορίζεται ως:
|
||
\[
|
||
K(\hat{\theta}) = \frac{1}{2} (y(t) - \hat{y}(t))^2 = \frac{1}{2} e^2(t)
|
||
\]
|
||
και η προσαρμογή των παραμέτρων γίνεται με βάση τον κανόνα gradient descent:
|
||
\[
|
||
\dot{\hat{\theta}} = -\gamma \cdot \nabla K(\hat{\theta}) = \gamma \cdot e(t) \cdot \phi(t)
|
||
\]
|
||
|
||
Αυτή η μορφή δεν απαιτεί ξεχωριστό βοηθητικό δυναμικό μοντέλο ή υπολογισμό σφαλμάτων κατάστασης, αλλά στηρίζεται αποκλειστικά σε παρατηρήσιμα σήματα και προβλέψιμη γραμμική εξίσωση ως προς τις παραμέτρους.
|
||
Η μέθοδος αυτή παρουσιάζει καλύτερη σταθερότητα σε σχέση με τη μέθοδο gradient, ειδικά όταν η είσοδος δεν πληροί πλήρως τη συνθήκη επιμονής διέγερσης.
|
||
Επιπλέον, η εισαγωγή της παραμέτρου $\gamma$ επιτρέπει τον έλεγχο της ταχύτητας προσαρμογής, χωρίς να απαιτείται normalization.
|
||
|
||
\subsubsection{Υλοποίηση Εκτιμητή}
|
||
|
||
Ο εκτιμητής Lyapunov υλοποιήθηκε με βάση το παραπάνω θεωρητικό μοντέλο.
|
||
Επιπλέον, ανακατασκευάστηκε η έξοδος του συστήματος $x(t)$ με βάση τις εκτιμώμενες παραμέτρους, ώστε να συγκριθεί η πραγματική έξοδος με την εκτιμώμενη $\hat{x}(t)$ και να υπολογιστεί το σφάλμα $e_x(t) = x(t) - \hat{x}(t)$.
|
||
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1b_lyapunov_gamma0.660_40s.png}
|
||
\caption{Εκτίμηση παραμέτρων με τη μέθοδο Lyapunov}
|
||
\end{subfigure}
|
||
\hfill
|
||
\begin{subfigure}[t]{0.48\textwidth}
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{../scripts/output/Prob1b_extrastates_gamma0.660_40s.png}
|
||
\caption{Αντίδραση συστήματος και σφάλμα εκτίμησης θέσης}
|
||
\end{subfigure}
|
||
\caption{Συγκριτική παρουσίαση εκτίμησης παραμέτρων και εξόδου (για $\gamma=0.66$, $T=40s$)}
|
||
\label{lyapunov_1b}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Όπως φαίνεται και από το σχήμα \ref{lyapunov_1b} η μέθοδος Lyapunov οδήγησε σε σταθερή και σχετικά ακριβή εκτίμηση των παραμέτρων του συστήματος.
|
||
Η τελική εκτίμηση των παραμέτρων μετά από $40s$ ήταν:
|
||
\[
|
||
\hat{m} = 0.8428,\quad \hat{b} = 0.2201,\quad \hat{k} = 0.2620
|
||
\]
|
||
Παρατηρείται ότι οι εκτίμηση για το $b$ συγκλίνει σε τιμές κοντά στις πραγματικές, ενώ η εκτιμήσεις του $m$ και $k$ αποκλίνουν σημαντικά, ομοίως με τη μέθοδο gradient estimation.
|
||
\par
|
||
Η ανακατασκευή της εξόδου $\hat{x}(t)$ παρόλα αυτά, με βάση το εκτιμώμενο μοντέλο παρουσίασε πολύ καλή συμφωνία με την πραγματική $x(t)$, με το σφάλμα θέσης $e_x(t)$ να παραμένει κάτω από $0.6$ καθ' όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης.
|
||
Αυτό ενισχύει την αξιοπιστία της εκτίμησης και αποδεικνύει την αποτελεσματικότητα της μεθόδου σε σταθερές συνθήκες.
|
||
|
||
\subsection{1γ – Επίδραση διαταραχής στη μέτρηση x(t)}
|
||
|
||
Για τη μελέτη της ευαισθησίας της μεθόδου Lyapunov στην παρουσία θορύβου, προστέθηκε στο σήμα της θέσης $x(t)$ μια ημιτονοειδής διαταραχή της μορφής:
|
||
\[
|
||
\eta(t) = \eta_0 \cdot \sin(2\pi f_0 t)
|
||
\]
|
||
με πλάτος $\eta_0 = 0.1$ και συχνότητα $f_0 = 0.5\,\text{Hz}$.
|
||
|
||
Ο εκτιμητής παραμένει ίδιος με αυτόν του Θέματος 1β.
|
||
Η εκτίμηση έγινε δύο φορές: μία με καθαρό σήμα $x(t)$ και μία με διαταραχή $x(t) + \eta(t)$, ενώ οι παράγωγοι $\dot{x}(t)$ και $\ddot{x}(t)$ υπολογίστηκαν από το καθαρό σήμα ώστε να αποφευχθεί υπερβολική αριθμητική αστάθεια.
|
||
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Prob1c_disturbance_eta0.10.png}
|
||
\caption{Σύγκριση εκτιμήσεων με και χωρίς διαταραχή ($\eta_0 = 0.1$)}
|
||
\label{fig:disturbance}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Από το σχήμα \ref{fig:disturbance} παρατηρούμε ότι η προσθήκη περιορισμένης διαταραχής στη μέτρηση της θέσης επηρεάζει ελάχιστα την εκτίμηση.
|
||
Οι τελικές τιμές των παραμέτρων συγκλίνουν σχεδόν ταυτόσημα με την καθαρή περίπτωση:
|
||
\[
|
||
\hat{m} = 0.8432, \quad \hat{b} = 0.2195, \quad \hat{k} = 0.2590
|
||
\]
|
||
|
||
Η μικρή επίδραση οφείλεται στο γεγονός ότι η διαταραχή:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item είναι ομαλή και περιοδική (χαμηλή συχνότητα),
|
||
\item φιλτράρεται έμμεσα μέσα από το μοντέλο,
|
||
\item δεν επηρεάζει τις παραγώγους που χρησιμοποιούνται στον εκτιμητή.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Συνεπώς, ο εκτιμητής Lyapunov παρουσιάζει ικανοποιητική ανοσία σε ήπια διαταραχή, γεγονός που ενισχύει τη χρησιμότητά του σε ρεαλιστικά σενάρια μέτρησης.
|
||
|
||
\section{Θέμα 2}
|
||
|
||
Το σύστημα που εξετάζεται είναι ένα δυναμικό μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης που περιγράφει τη ροπή κύλισης (roll motion) ενός αεροσκάφους:
|
||
\[
|
||
\ddot{r}(t) = -a_1 \dot{r}(t) - a_2 \sin(r(t)) + a_3 \dot{r}^2 \sin(2r(t)) + b u(t) + d(t)
|
||
\]
|
||
Όπου:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $r(t)$ είναι η γωνία roll,
|
||
\item $u(t)$ είναι η είσοδος (σήμα ελέγχου),
|
||
\item $d(t)$ είναι εξωτερική διαταραχή,
|
||
\item $a_1, a_2, a_3, b$ είναι άγνωστες σταθερές παραμέτρων.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Η δομή του συστήματος επιβάλλει την κατασκευή εκτιμητή παραμέτρων σε πραγματικό χρόνο.
|
||
Το βασικό βήμα είναι η αναγραφή της εξίσωσης σε μορφή γραμμική ως προς τις άγνωστες παραμέτρους:
|
||
\[
|
||
\ddot{r}(t) = \theta^\top \phi(t)
|
||
\quad \text{με } \theta = [a_1,\, a_2,\, a_3,\, b]^\top,\quad
|
||
\phi(t) = [-\dot{r}(t),\, -\sin(r(t)),\, \dot{r}^2(t)\sin(2r(t)),\, u(t)]^\top
|
||
\]
|
||
Η είσοδος $u(t)$ πρέπει να σχεδιαστεί κατάλληλα ώστε το σύστημα να ακολουθεί τη ζητούμενη τροχιά ακόμη και παρουσία άγνωστων παραμέτρων.
|
||
Για τον σκοπό αυτό, προτείνεται η χρήση ενός ελεγκτή ανάδρασης που βασίζεται σε κανονικοποιημένα σφάλματα και σε μια smooth συνάρτηση κορεσμού της μορφής:
|
||
\[
|
||
T(z) = \ln\left(\frac{1 + z}{1 - z}\right)
|
||
\]
|
||
Η συνάρτηση $T(z)$ χρησιμοποιείται για να περιορίσει την έξοδο του ελεγκτή όταν τα σφάλματα γίνονται μεγάλα, αποτρέποντας απότομες ή μη ρεαλιστικές εντολές ελέγχου.
|
||
Τα σφάλματα κανονικοποιούνται με χρονικά μεταβαλλόμενα ή σταθερά φράγματα, ώστε να εξασφαλίζεται η σταθερότητα και η συμβατότητα με φυσικούς περιορισμούς του συστήματος.
|
||
|
||
Ο ελεγκτής βασίζεται σε δύο επίπεδα ανάδρασης.
|
||
Πρώτα, υπολογίζεται ένα setpoint ταχύτητας:
|
||
\[
|
||
z_1(t) = \frac{r(t) - r_d(t)}{\phi(t)}, \quad \alpha(t) = -k_1 T(z_1(t))
|
||
\]
|
||
όπου $r_d(t)$ είναι η επιθυμητή τροχιά και $\phi(t)$ ένα χρονικά φθίνον φράγμα σφάλματος.
|
||
|
||
Στη συνέχεια, υπολογίζεται η τελική είσοδος ελέγχου:
|
||
\[
|
||
z_2(t) = \frac{\dot{r}(t) - \alpha(t)}{\rho}, \quad u(t) = -k_2 T(z_2(t))
|
||
\]
|
||
με σταθερό φράγμα $\rho$ και ενισχυτικό κέρδος $k_2$.
|
||
Το σχήμα αυτό επιτρέπει υψηλή ακρίβεια παρακολούθησης (καθώς $\phi_\infty \downarrow$) και ταυτόχρονα περιορίζει τις μεταβατικές ταλαντώσεις μέσω της δομής κορεσμού.
|
||
|
||
Η μελέτη επεκτείνεται και σε περιπτώσεις με εξωτερικές διαταραχές $d(t)$, όπου αξιολογείται η ευρωστία του εκτιμητή και του ελεγκτή.
|
||
|
||
\subsection{2α – Εκτίμηση παραμέτρων σε μη γραμμικό σύστημα roll χωρίς διαταραχές}
|
||
|
||
Εξετάζουμε ένα μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης που μοντελοποιεί τη ροπή κύλισης (roll) αεροσκάφους, του οποίου η τροχιά αναφοράς ακολουθεί την προδιαγραφή:
|
||
\[
|
||
r_d(t) =
|
||
\begin{cases}
|
||
0, & 0 \leq t < 10 \\
|
||
\frac{\pi}{10}, & 10 \leq t < 20 \\
|
||
0, & t \geq 20
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
|
||
Για την παρακολούθηση τροχιάς χρησιμοποιείται ελεγκτής ανάδρασης που περιγράφηκε παραπάνω
|
||
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Problem2a_estimation.png}
|
||
\caption{Εκτίμηση παραμέτρων και παρακολούθηση τροχιάς για το Θέμα 2α (χωρίς διαταραχή)}
|
||
\label{fig:2a}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Από το σχήμα \ref{fig:2a} φαίνεται ότι η σύγκλιση των παραμέτρων είναι ομαλή και σχετικά ακριβής:
|
||
\[
|
||
\hat{a}_1 = 1.4970,\quad \hat{a}_2 = 1.0015,\quad \hat{a}_3 = 0.7439,\quad \hat{b} = 2.0051
|
||
\]
|
||
με τις πραγματικές τιμές να είναι $a_1 = 2.0$, $a_2 = 1.0$, $a_3 = 0.5$, $b = 2.0$.
|
||
Παρατηρούμε ότι οι παράμετροι $a_2$ και $b$ εκτιμώνται με υψηλή ακρίβεια, ενώ οι $a_1$ και $a_3$ εκτιμούνται με χαμηλή ακρίβεια.
|
||
\par
|
||
Η παρακολούθηση της επιθυμητής τροχιάς παρόλα αυτά είναι επιτυχής, με το $r(t)$ να ακολουθεί το $r_d(t)$ εντός των ορίων που ορίζει το φράγμα $\phi(t)$ καθ’ όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης.
|
||
|
||
\subsection{2β – Εκτίμηση παραμέτρων και ανακατασκευή κατάστασης με μετρήσιμα r(t), ṙ(t), u(t)}
|
||
|
||
Σε αυτό το Θέμα εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία είναι μετρήσιμα τα σήματα $r(t)$, $\dot{r}(t)$ και $u(t)$, και ζητείται η εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων του συστήματος καθώς και η ανακατασκευή της γωνίας roll $r(t)$ μέσω της εκτιμημένης δυναμικής.
|
||
|
||
Το σύστημα που προσομοιώνεται παραμένει:
|
||
\[
|
||
\ddot{r}(t) = -a_1 \dot{r}(t) - a_2 \sin(r(t)) + a_3 \dot{r}^2 \sin(2r(t)) + b u(t)
|
||
\]
|
||
|
||
Οι παράμετροι εκτιμώνται χρησιμοποιώντας τη μορφή:
|
||
\[
|
||
\hat{\theta}(k+1) = \hat{\theta}(k) + \gamma \cdot e(t) \cdot \phi(t)
|
||
\quad \text{όπου } \phi(t) = [-\dot{r}, -\sin(r), \dot{r}^2\sin(2r), u(t)]^\top
|
||
\]
|
||
|
||
Η έξοδος του συστήματος $r(t)$ ανακατασκευάζεται από την εκτιμώμενη επιτάχυνση:
|
||
\[
|
||
\hat{\ddot{r}}(t) = \hat{\theta}^\top \phi(\hat{r}(t), \hat{\dot{r}}(t), u(t)).
|
||
\]
|
||
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{../scripts/output/Problem2b_estimation.png}
|
||
\caption{Εκτίμηση παραμέτρων και ανακατασκευή κατάστασης για το Θέμα 2β}
|
||
\label{fig:2b}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Η εκτίμηση παραμέτρων συγκλίνει σε πολύ καλές τιμές:
|
||
\[
|
||
\hat{a}_1 = 1.4970,\quad \hat{a}_2 = 1.0015,\quad \hat{a}_3 = 0.7439,\quad \hat{b} = 2.0051
|
||
\]
|
||
Όπως φαίνεται στο σχήμα \ref{fig:2b}, ενώ η ανακατασκευή της κατάστασης $r(t)$ είναι εύστοχη, με σφάλμα $e_r(t)$ να διατηρείται κάτω από $0.05\,\text{rad}$.
|
||
Η ελαφριά χρονική υστέρηση και υποεκτίμηση σε ορισμένα διαστήματα οφείλονται στο ότι η ανακατασκευή γίνεται με βάση εκτιμώμενες παραμέτρους και αρχικές μηδενικές συνθήκες.
|
||
Συνολικά, η μέθοδος Lyapunov αποδείχθηκε κατάλληλη για ταυτόχρονη εκτίμηση και παρακολούθηση σε πραγματικό χρόνο με αξιόπιστα αποτελέσματα.
|
||
|
||
|
||
\end{document}
|